Deviazione dalla sfericità (della Terra)

Novembre 16th, 2021 | by Marcello Colozzo |

deviazione dalla sfericità, terra sferica, geoide



Esercizi di Meccanica dei fluidi elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.


EsercizioÈ noto che la Terra non è una sfera, perché presenta uno schiacciamento ai poli e un rigonfiamento all'equatore. Modellizzando la Terra attraverso un fluido incomprimibile di densità uniforme ρ, si chiede di determinare la differenza tra il raggio ai poli e il raggio all'equatore.
Alcuni dati numerici: massa della Terra M=6·10²4kg . Raggio medio della Terra R=6366km .

Soluzione

Analizziamo in coordinate sferiche


L'elemento di volume si scrive:

dove

Per facilità di analisi la fig. 1 viene ruotata attorno all'asse z di un angolo φ, ottenendo in tal modo la fig. 2; la variabile φ viene così accantonata.

Il vettore OP=r viene studiato nel piano x'z'. Si noti quindi che dθ=-dλ. Sull'elemento di volume dV agiscono le forze: gravitazionale, centrifuga e di pressione idrostatica. Denotando con &rho la densità (costante):


Per l'equilibrio si ha:


Cioè

Ne segue


Per un punto P posto a una profondità h sotto la superficie della Terra abbiamo:

In quest'ordine di approssimazione

La superficie della Terra è una superficie equipotenziale. Il potenziale, ovvero l'energia potenziale per unità di massa, è la somma di quello gravitazionale &Fhi;G e di quello centrifugo &Fhi;c.
Forza gravitazionale


Forza centrifuga ad una fissata latitudine

che proiettata sulla direzione di r e per unità di massa dà

In coordinate sferiche il &Fhi;c è in funzione di

Si ha

che integrata dà

Inoltre

Quindi sulla superficie terrestre abbiamo:

Ai poli si ha

e avremo

All'equatore è

Quindi

La deviazione dalla sfericità vale dunque:

Segue

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