Moti superluminali

Novembre 14th, 2021 | by Marcello Colozzo |

Energia cinetica di una particella relativistica. Moti subluminali

Come è noto, l'energia cinetica di una particella che compie un moto relativistico è:

dove m è la massa a riposo della particella, c la velocità della luce nel vuoto e v il modulo della velocità. È utile introdurre il parametro adimensionale ß=v/c per cui

L'insieme di definizione della funzione reale E(ß) della variabile reale ß, è l'intervallo semiaperto a destra [0,1). La funzione è manifestamente positiva. Inoltre

che è la ben nota energia di riposo della particella. Risulta

Dunque la retta di equazione ß=1 è un asintoto verticale a destra per il grafico della funzione E(ß). Riassumendo: l'energia cinetica in funzione della velocità, è positiva, strettamente crescente nel proprio insieme di definizione, e presenta una singolarità per v=c. Il contenuto fisico di tali conclusioni è evidente: una particella con massa a riposo m > 0 non può raggiungere la velocità della luce in quanto la sua energia cinetica diverge positivamente.

Limite nonrelativistico

È la condizione ß«1 che consente di sviluppare la funzione E(ß) in serie di taylor troncata al termine del secondo ordine:

Il termine di riposo mc² può essere cancellato, attraverso una ridefinizione dello zero dell'energia (ricordiamo che l'energia è definita a meno di una essenziale costante additiva). Quindi:

ovvero la consueta espressione dell'energia cinetica in regime newtoniano.

Moti superluminali

Ci proponiamo di estendere la funzione E(ß) a valori ß>1. È chiaro che in (1,+oo) la predetta funzione assume valori immaginari:

Per rendere reale l'energia, possiamo congetturare l'esistenza di particelle con massa a riposo immaginaria, eseguindo la sostituzione m->i·m, per cui

Riassumendo

il cui grafico è riportato in fig.

Particelle di massa nulla

Formalmente possiamo rappresentare l'energia cinetica di una particella relativistica, attraverso la funzione E(m,ß) delle due variabili reali (m,ß)

Ne segue

Per rimuovere tale forma indeterminata, utilizziamo l'espressione dell'energia cinetica in funzione della massa a riposo m e dell'impulso p

Precisamente:

Cioè l'energia cinetica di una particella di massa nulla è E=cp. Inoltre, una particella di massa nulla non può fare altro che muoversi alla velocità della luce, per cui v=c. Un esempio è dato dai fotoni.

Conclusioni

Le conclusioni sono riassunte nel grafico di fig. 1 in cui vediamo che l'intervallo [0,+oo) viene suddiviso nelle regioni [0,1) e (1,+oo). La prima definisce tutti e soli i moti subluminali, mentre la seconda definisce i moti superluminali. La retta verticale di equazione ß=1 separa le predette regioni e rappresenta i moti di particelle prive di massa. Dalla monotonia della funzione E(ß) che risulta essere strettamente crescente nella prima regione, e strettamente decrescente nella seconda, segue che le particelle con m > 0 (bradioni) non possono accelerare a velocità > = c. Di contro, le particella di massa immaginaria (tachioni) non possono decelerare a velocità v < = c. Le particelle prive di massa compiono, invece, un moto uniforme con velocità c. Notiamo infine, che per i tachioni a un aumento della velocità corrisponde una diminuzione dell'energia cinetica, che ha il seguente andamento asintotico: