Particella vincolata alla superficie di un paraboloide

Ottobre 27th, 2021 | by Marcello Colozzo |

particella, paraboloide,gravità — **Fig. 1**

Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Una particella P scorre, per effetto della gravità, all'interno della superficie di un paraboloide avente asse di rotazione verticale z (fig. 1). Usando la distanza r dall'asse z e l'angolo azimut φ come coordinate generalizzate, determinare:

a) la lagrangiana del sistema;
b) il momento generalizzato e la corrispondente hamiltoniana;
c) l'equazione del moto nella coordinata r come funzione del tempo;
d) se dφ/dt =0, mostrare che la particella può eseguire piccole oscillazioni attorno al punto più basso del paraboloide e trovare le frequenze di tali oscillazioni.

Soluzione

In coordinate cilindriche abbiamo P(r,φ,z) e l'equazione del parabolide in tale sistema di coordinate è z=Ar² dove A è una costante positiva.
Quesito a

La lagrangiana è

Tenendo conto dell'equazione del paraboloide, si ha:

Quindi

Quesito b

I momenti generalizzati sono:

da cui l'hamiltoniana:

Quesito c
Le equazioni di Lagrange

danno

Se poniamo che la costante sia mh, abbiamo dalla seconda equazione:

che sostituita nella prima:

Quesito d
L'ipotesi del problema è dφ/dt=0, quindi la prima delle equazioni del moto diventa:

Il punto più basso del paraboloide ha coordinata radiale r=0. Per piccole oscillazioni r,e le sue derivate sono piccole quantità; pertanto in prima approssimazione possiamo scrivere: