Analiticità di una funzione

Settembre 25th, 2021 | by Marcello Colozzo |

funzione analitica, esistenza e continuità delle derivate — **Fig. 1**

Esercizio
Studiare la funzione la cui espressione è riportata in fig. 1.

Soluzione
Insieme di definizione

È facile: deve essere e^x - 1 diverso da zero, da cui l'insieme di definizione (o campo di esistenza) è X=R\{0}.

Segno della funzione
Riesce

per cui il grafico della funzione è contenuto nel semipiano y > 0.
Comportamento agli estremi
Risulta

in quanto è un limite fondamentale. Quindi x=0 è una discontinuità eliminabile. Perciò ridefiniamo la funzione:

Comportamento asintotico:

per cui l'asse x è asintoto orizzontale a destra. Inoltre:

Derivata prima
Dopo semplici calcoli derivanti dall'applicazione delle regole di derivazione:

Determiniamo gli eventuali zeri:

che non è mai verificata. Ne segue che non esistono punti di estremo relativo. Studiamo il segno:

Risolviamo la disequazione per via grafica, confrontando i grafici di:

come illustrato in figura:

da cui vediamo

Ne consegue che la funzione è strettamente decrescente in X. È facile esaminare il comportamento della derivata prima in un intorno di x=0:

Quindi x=0 è una discontinuità eliminabile, per cui scriviamo:

Derivata seconda
Dopo svariati calcoli

Ne tralasciamo lo studio, osservando che x=0 è un punto di discontinuità eliminabile per tale funine.
Asintoti obliqui
Abbiamo

Ne concludiamo che la retta y=-x è asintoto obliquo a sinistra. Il grafico della funzione è in fig. 1.

Riguardo alla analiticità, osserviamo innanzitutto che la funzione è di classe C^oo, a patto di ridefinire la funzione in x=0. Come è noto, ciò è una condizione necessaria
ma non sufficiente per l'analiticità di una funzione. Tuttavia, la funzione assegnata è manifestamente analitica, in quanto è localmente esprimibile in una serie di potenze convergente.

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