Analiticità di una funzione

Settembre 25th, 2021 | by Marcello Colozzo |

funzione analitica, esistenza e continuità delle derivate
Fig. 1


Esercizio
Studiare la funzione la cui espressione è riportata in fig. 1.


Soluzione
Insieme di definizione

È facile: deve essere e^x - 1 diverso da zero, da cui l'insieme di definizione (o campo di esistenza) è X=R\{0}.

Segno della funzione
Riesce


per cui il grafico della funzione è contenuto nel semipiano y > 0.
Comportamento agli estremi
Risulta

in quanto è un limite fondamentale. Quindi x=0 è una discontinuità eliminabile. Perciò ridefiniamo la funzione:

Comportamento asintotico:

per cui l'asse x è asintoto orizzontale a destra. Inoltre:

Derivata prima
Dopo semplici calcoli derivanti dall'applicazione delle regole di derivazione:


Determiniamo gli eventuali zeri:


che non è mai verificata. Ne segue che non esistono punti di estremo relativo. Studiamo il segno:


Risolviamo la disequazione per via grafica, confrontando i grafici di:

come illustrato in figura:


da cui vediamo

Ne consegue che la funzione è strettamente decrescente in X. È facile esaminare il comportamento della derivata prima in un intorno di x=0:


Quindi x=0 è una discontinuità eliminabile, per cui scriviamo:

Derivata seconda
Dopo svariati calcoli


Ne tralasciamo lo studio, osservando che x=0 è un punto di discontinuità eliminabile per tale funine.
Asintoti obliqui
Abbiamo

Ne concludiamo che la retta y=-x è asintoto obliquo a sinistra. Il grafico della funzione è in fig. 1.

Riguardo alla analiticità, osserviamo innanzitutto che la funzione è di classe Coo, a patto di ridefinire la funzione in x=0. Come è noto, ciò è una condizione necessaria
ma non sufficiente per l'analiticità di una funzione. Tuttavia, la funzione assegnata è manifestamente analitica, in quanto è localmente esprimibile in una serie di potenze convergente.

No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)

Tags: ,

Articoli correlati

Commenta l'esercizio