Moto di una barra vincolata a una corda

Settembre 22nd, 2021 | by Marcello Colozzo |

moto, barra,corda, lagrangiana — **Fig. 1**

Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.
Esercizio

Una corda senza massa, lunga l e fissata ad un soffitto, sostiene una barra sottile di massa M, lunga 2L, alla cui estremità libera è applicata una forza orizzontale F (fig. 1). Scrivere le equazioni di Lagrange per tale sistema. Per tempi molto brevi - ragion per cui gli angoli sono piccoli - determinare gli angoli formati da corda e barra.
Considerando lo stato di riposo al tempo t=0, disegnare il sistema per illustrare il moto iniziale della barra.

Soluzione

Come è evidente dalla fig. 1 il moto si sviluppa e rimane in un piano verticale. Il baricentro della barra ha le seguenti coordinate cartesiane:

Le componenti della velocità sono:

e il momento di inerzia della barra rispetto all'asse perpendicolare baricentrico vale:

Dunque l'energia cinetica della barra è

e la sua energia potenziale gravitazionale:

Per definizione, il potenziale della forza è

Quindi la lagrangiana:

e le equazioni di Lagrange saranno:

Calcoliamo le derivate parziali e otteniamo:

Notiamo che se F è piccola lo sono pure le 4 variabili, quindi le equazioni appena scritte si possono semplificare in

Il moto inizia con il sistema a riposo a t=0. Dopo, per un tempo molto breve Δt, la forza può considerarsi di tipo impulsivo FΔt, e così pure il momento torcente FLΔt rispetto al baricentro.