Tre masse interagenti attraverso la forza gravitazionale

Settembre 9th, 2021 | by Marcello Colozzo |

meccanica razionale,forza gravitazionale,particelle — **Fig. 1**

Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.
Esercizio

Tre corpi di massa ₁,m₂,m₃₃ interagiscono l'un l'altro attraverso la forza gravitazionale.
a) Scrivere le equazioni del moto.
b) Il sistema può ruotare nel suo piano con distanze costanti e uguali tra ogni coppia di masse. Determinare la frequenza angolare di rotazione quando le masse sono separate da una distanza d.
c) Per m₁~m₃ e m₂~m₃ determinare la condizione di stabilità della massa m3 circa la sua posizione stazionaria. Considerare solo il moto nel piano orbitale.

Soluzione

Assumere il centro di massa C come origine delle coordinate (fig. 1) e identifichiamo le distanze r con notazione vettoriale

Quesito a.
Il moto di ogni particella è dato da:

ovvero

Il segno meno indica che le forze sono attrattive.

Quesito b.
Con la condizione che r_ij=d scriveremo

Posto il centro di massa nell'origine si ha:

La forza agente su ogni particella, verso il centro di massa, è una forza armonica. Con particelle equidistanti tra loro il sistema ruota intorno a C con frequenza angolare:

Quesito c.
Supposto m₁~m₃ e m₂~m₃ il moto delle masse è espresso da

Con d=cost il sistema ruota intorno a C con una frequenza angolare

Si usi un sistema di coordinate rotanti con frequenza angolare ω intorno al centro di massa e siano

riferite a tale sistema. Considerando il moto di m₃ nel sistema del laboratorio, scriveremo:

oppure

Se m₃ è stazionario allora si ha

e l'equazione più sopra diventa:

cioè

Con m₁,m₂~m₃ la

diventa

Pertanto l'equazione scritta più sopra diventa

Questa relazione mostra che r₃ è parallelo a r₁ e dunque la posizione stazionaria di m₃ giace sulla congiungente m₁,m₂. In questa posizione le attrazioni delle due masse sono bilanciate. Circa l'equilibrio di m₃: immaginiamo di spostarla di poco verso m₁, per esempio, sulla predetta congiungente. L'attrazione verso m1 diventerà sempre più preponderante, mentre calerà quella verso m₂. La m₃ si muoverà verso m₁: dunque equilibrio instabile. Se invece lo spostamento di m₃ avviene secondo la normale alla congiungente m₁,m₂, essa ritornerà nella sua posizione originaria: dunque equilibrio stabile.