Tre masse interagenti attraverso la forza gravitazionale

Settembre 9th, 2021 | by Marcello Colozzo |

meccanica razionale,forza gravitazionale,particelle
Fig. 1


Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Tre corpi di massa 1,m2,m33 interagiscono l'un l'altro attraverso la forza gravitazionale.
a) Scrivere le equazioni del moto.
b) Il sistema può ruotare nel suo piano con distanze costanti e uguali tra ogni coppia di masse. Determinare la frequenza angolare di rotazione quando le masse sono separate da una distanza d.
c) Per m1~m3 e m2~m3 determinare la condizione di stabilità della massa m3 circa la sua posizione stazionaria. Considerare solo il moto nel piano orbitale.


Soluzione

Assumere il centro di massa C come origine delle coordinate (fig. 1) e identifichiamo le distanze r con notazione vettoriale


Quesito a.
Il moto di ogni particella è dato da:

ovvero


Il segno meno indica che le forze sono attrattive.

Quesito b.
Con la condizione che rij=d scriveremo


Posto il centro di massa nell'origine si ha:

La forza agente su ogni particella, verso il centro di massa, è una forza armonica. Con particelle equidistanti tra loro il sistema ruota intorno a C con frequenza angolare:

Quesito c.
Supposto m1~m3 e m2~m3 il moto delle masse è espresso da


Con d=cost il sistema ruota intorno a C con una frequenza angolare

Si usi un sistema di coordinate rotanti con frequenza angolare ω intorno al centro di massa e siano

riferite a tale sistema. Considerando il moto di m3 nel sistema del laboratorio, scriveremo:


oppure

Se m3 è stazionario allora si ha


e l'equazione più sopra diventa:

cioè

Con m1,m2~m3 la


diventa


Pertanto l'equazione scritta più sopra diventa

Questa relazione mostra che r3 è parallelo a r1 e dunque la posizione stazionaria di m3 giace sulla congiungente m1,m2. In questa posizione le attrazioni delle due masse sono bilanciate. Circa l'equilibrio di m3: immaginiamo di spostarla di poco verso m1, per esempio, sulla predetta congiungente. L'attrazione verso m1 diventerà sempre più preponderante, mentre calerà quella verso m2. La m3 si muoverà verso m1: dunque equilibrio instabile. Se invece lo spostamento di m3 avviene secondo la normale alla congiungente m1,m2, essa ritornerà nella sua posizione originaria: dunque equilibrio stabile.

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