Treno azionato dalla gravità (es. di Meccanica razionale)

venerdì, Settembre 10th, 2021

treno azionato dalla gravità,meccanica razionale — **Fig. 1**

Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.
Esercizio

Un tunnel collega in linea retta Parigi (A) con Londra (B) per una lunghezza L=340km . Un treno che si sposti da A a B è azionato soltanto dalla forza di gravità. Trascurando l'attrito si vuole conoscere la velocità massima cui può raggiungere il treno e il tempo richiesto per percorre il tragitto da A a B.

Soluzione

La Terra è immaginata come una sfera la cui superficie costituisce un luogo di riferimento equipotenziale gravitazionale. Il raggio terrestre è R=6366 km . Siano m e M rispettivamente la massa del treno e la massa della Terra. L'energia potenziale gravitazionale al punto x vale

Supposto che il treno parta a velocità nulla, il teorema di conservazione dell'energia meccanica è

energia potenziale al punto A= energia cinetica in x + energia potenziale in x

da cui

dove

è l'accelerazione di gravità in superficie. Dalla fig. 1 ricaviamo

Segue

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Tre masse interagenti attraverso la forza gravitazionale

giovedì, Settembre 9th, 2021

meccanica razionale,forza gravitazionale,particelle — **Fig. 1**

Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.
Esercizio

Tre corpi di massa ₁,m₂,m₃₃ interagiscono l'un l'altro attraverso la forza gravitazionale.
a) Scrivere le equazioni del moto.
b) Il sistema può ruotare nel suo piano con distanze costanti e uguali tra ogni coppia di masse. Determinare la frequenza angolare di rotazione quando le masse sono separate da una distanza d.
c) Per m₁~m₃ e m₂~m₃ determinare la condizione di stabilità della massa m3 circa la sua posizione stazionaria. Considerare solo il moto nel piano orbitale.

Soluzione

Assumere il centro di massa C come origine delle coordinate (fig. 1) e identifichiamo le distanze r con notazione vettoriale

Quesito a.
Il moto di ogni particella è dato da:

ovvero

Il segno meno indica che le forze sono attrattive.

Quesito b.
Con la condizione che r_ij=d scriveremo

Posto il centro di massa nell'origine si ha:

La forza agente su ogni particella, verso il centro di massa, è una forza armonica. Con particelle equidistanti tra loro il sistema ruota intorno a C con frequenza angolare: