Somma costante di distanze tra un punto generico e i lati di un triangolo equilatero
Luglio 13th, 2021 | by Marcello Colozzo |Dimostrare che in un triangolo equilatero, da un punto generico P interno al triangolo, la somma delle distanze da P ai lati del triangolo è costante. Dalla fig.:
vediamo
Soluzione
1° Metodo. Si consideri la fig. 1. I segmenti rossi PQ,PR,PS sono perpendicolari ai rispettivi lati BC,CA,AB. Il segmento EF è parallelo al segmento BC. Il segmento ET è parallelo al segmento PR. Il triangolo HEP è equilatero perché PH è parallelo ad AC e nel quale si ha
Il triangolo AEF è equilatero e nel quale si ha
Osserviamo che
cioè
e quindi
che è una costante nel triangolo ABC.
2° Metodo. Si consideri la fig.
Dividiamo il triangolo ABC in tre triangoli ABP,BCP,CAP, aventi le rispettive altezze PS,PQ,PR. L'area del predetto triangolo è
ma è anche la somma delle aree di ciascun triangolo:
ma poichè abbiamo AB=BC=CA scriveremo
da cui
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Tags: distanza, lati, triangolo equilatero
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