» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Somma costante di distanze tra un punto generico e i lati di un triangolo equilatero

Luglio 13th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Appunti ed esercizi di Geometria elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Dimostrare che in un triangolo equilatero, da un punto generico P interno al triangolo, la somma delle distanze da P ai lati del triangolo è costante. Dalla fig.:

vediamo


Soluzione
1° Metodo. Si consideri la fig. 1. I segmenti rossi PQ,PR,PS sono perpendicolari ai rispettivi lati BC,CA,AB. Il segmento EF è parallelo al segmento BC. Il segmento ET è parallelo al segmento PR. Il triangolo HEP è equilatero perché PH è parallelo ad AC e nel quale si ha

Il triangolo AEF è equilatero e nel quale si ha

Osserviamo che

cioè

e quindi

che è una costante nel triangolo ABC.

2° Metodo. Si consideri la fig.

Dividiamo il triangolo ABC in tre triangoli ABP,BCP,CAP, aventi le rispettive altezze PS,PQ,PR. L'area del predetto triangolo è

ma è anche la somma delle aree di ciascun triangolo:

ma poichè abbiamo AB=BC=CA scriveremo

da cui

Tags: distanza, lati, triangolo equilatero

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