» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Quadrilatero ciclico e formula di Erone

Maggio 27th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Appunti ed esercizi di Geometria elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Si faccia riferimento alla fig. 1, dove è raffigurato un triangolo ABC di cui si conoscano i lati a,b,c. Denominando con p il perimetro p=a+b+c, con s il semiperimetro e con A l'area del triangolo, si vuole dimostrare la formula di Erone:

Soluzione

Si traccino le tre bisettrici per ottenere il centro del cerchio inscritto nel triangolo. I punti di tangenza sono D,E,F. Si estenda il lato BC di un segmento pari a k=AD. Si costruiscano i triangoli BOP e BCP; si potrà dire che essi definiscono il
il quadrilatero ciclico BOCP il cui cerchio (blu) ha il diametro D=BP. Ne segue che l'angolo

è supplementare a

È immediato constatare che

Sommiamo

cioè

è supplementare a

Ne segue che il triangolo DOA è simile al triangolo BCP. Pertanto scriveremo:

triangoli OGF e GPB sono simili perché sono rettangoli e hanno uguale un angolo in F:

Segue

Nel triangolo BOG il r è l'altezza sull'ipotenusa; dunque

L'area del triangolo ABC sarà la somma delle aree dei triangoli AOB,BOC,COA.

Così l'area di ABC è

Tenendo conto delle formule scritte più sopra, si ha:

cioè l'asserto.

Tags: formula di erone, quadrilatero ciclico

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