Forma operatoriale dell'equazione di Klein-Gordon

Aprile 27th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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L'artificio matematico utilizzato nel numero precedente restituisce il clamoroso vantaggio di ridurre di una unità l'ordine dell'equazione differenziale di Klein-Gordon nella derivata temporale (riducendola a un'equazione 'a la Schrödinger). Il prezzo da pagare consiste nell'integrazione di un sistema di equazioni differenziali accoppiate. La particolare forma di tale sistema suggerisce una scrittura matriciale del medesimo. A tale scopo, definiamo il vettore colonna


i cui elementi sono le funzioni incognite che compaiono nel predetto sistema che qui riscriviamo:

Scriviamo un'equazione del tipo Schrödinger


dove

cui elementi di matrici sono operatori differenziali del secondo ordine che agiscono sugli elementi dello spazio di Hilbert L²(R³). Esplicitando il prodotto righe per colonne, otteniamo :


da cui

Per separare le matrici dall'operatore differenziale nabla, scriviamo


dove Y,Z sono matrici (da determinare) di ordine 2 sul campo complesso. Una possibile determinazione è

avendo introdotto le matrici:


che verificano le seguenti proprietà:


Ne concludiamo che la forma operatoriale dell'equazione di Klein-Gordon è:


dove l'operatore hamiltoniano è

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