Spazi di Hilbert. Prodotto hermitiano e metrica

Marzo 10th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Sia H uno spazio di Hilbert.
Definizione
Comunque prendiamo f,g appartenenti ad H, chiamiamo distanza tra f e g, il numero reale:


Tale definizione è ben posta in quanto sono soddisfatti gli assiomi che conferiscono alla funzione ρ(f,g) la natura di distanza. Infatti, rammentando le proprietà della norma si ha:


Ne segue che il prodotto hermitiano induce una metrica in H


In altri termini, un qualunque spazio di Hilbert è uno spazio metrico. Ricordiamo incidentalmente, che in topologia una metrica può essere introdotta indipendentemente da un prodotto hermitiano. Di contro, negli spazi di Hilbert la metrica è indotta dal prodotto hermitiano. Alla stessa maniera, in uno spazio euclideo è il prodotto scalare che determina la metrica.

L'introduzione di una metrica, quindi di una «distanza», consente di estendere i potenti metodi dell'Analisi agli spazi di Hilbert, come ad esempio l'importante nozione di convergenza di una successione. Più precisamente, assegnato un qualunque spazio di Hilbert H, diremo che una successione di elementi di H


converge a un elemento f appartenente ad H se


e si scrive

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