Convergenza per x che tende all'infinito

Febbraio 11th, 2021 | by Marcello Colozzo |

La definizione di convergenza si estende immediatamente quando x0 è punto di accumulazione all'infinito. Ad esempio:

significa con ovvio significato dei simboli:

Equivalentemente

In modo simile per x che tende a "-oo" (leggi: "meno infinito")

L'interpretazione geometrica è riportata in fig. 1.

Ne segue che per ogni ε maggiore di zero esiste un δ_ε tale che i punti del diagramma cartesiano della funzione aventi ascissa x > δ_ε sono interni alla striscia S_ε. La grandezza |f(x)-l| è la distanza tra il punto P(x,f(x)) del diagramma e la retta orizzontale r:y=l. Quindi se la funzione converge a l per x che tende a +oo la distanza tra P e la predetta retta tende a zero. Ciò si esprime dicendo che la retta r è un asintoto orizzontale del grafico della funzione.
Notiamo incidentalmente che nel caso appena illustrato risulta

Si usa allora dire che f tende a l per valori minori di l e si scrive:

Viceversa se

e si dice che f tende a l per valori maggiori di l

Naturalmente si possono avere funzioni per la quali non si verifica nessuno dei due casi, come ad esempio per il grafico illustrato in fig.

The definition of convergence extends immediately when x0 is an accumulation point at infinity. For example:

means with obvious meaning of the symbols:

Equivalently

Similarly for x which tends to "-oo" (read: "minus infinity")

The geometric interpretation is shown in fig. 1.

It follows that for each ε greater than zero there is a δ_ε such that the points of the Cartesian diagram of the function having abscissa x > δ_ε are internal to the strip S_ε. The quantity |f (x) -l| is the distance between the point P(x,f (x)) of the diagram and the horizontal line r: y = l. So if the function converges to l as x tends to + oo the distance between P and the aforementioned line tends to zero. This is expressed by saying that the line r is a horizontal asymptote of the graph of the function.
We note incidentally that in the case just illustrated it results

It is then used to say that f tends to l for values less than l and we write:

Vice versa if

and f is said to tend to l for values greater than l

Naturally it is possible to have functions for which neither of the two cases occurs, as for example for the graph illustrated in fig.

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