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Primo teorema di Lyapunov (Gantmacher vs Fasano-Marmi)

Alcune perplessità su un teorema di Meccanica analitica, riguardante la stabilità del moto. Più specificatamente, il problema riguarda l'invertibilità del teorema di Lagrange che noi abbiamo impostato sulla falsariga del procedimento utilizzato dal Fasano-Marmi nella dinamica monodimensionale.

In sostanza, il predetto teorema fornisce una condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché un punto ξ₀ sia una posizione di equilibrio stabile. Precisamente, se ξ₀ è punto di minimo relativo proprio per la funzione "energia potenziale" V(x) (quindi stiamo parlando di un sistema conservativo), allora tale punto è una posizione di equilibrio stabile. Tuttavia, non è vero il viceversa, e il Fasano-Marmi propone un suggestivo ed efficace controesempio, in cui V(x) è di classe C^oo ma non è analitica. In questo esempio specifico, l'origine x=0 non è punto di minimo relativo, e tuttavia è una posizione di equilibrio stabile (per rendersene conto basta applicare la definizione secondo Lyapunov)

Di contro, sull'ottimo testo di Felix Gantmacher viene enunciato e dimostrato il Primo teorema di Lagrange come illustrato in fig. 1, che sembra contraddire il Fasano-Marmi.

Di seguito la dimostrazione proposta da Gantmacher:

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