Metodo dei minimi quadrati: implementazione in Mathematica (parte 1)

Aprile 23rd, 2020 | by Marcello Colozzo |

metodo dei minimi quadrati,mathematica — **Fig. 1**

Per minimizzare l'errore quadratico medio per un generico ordine di approssimazione n, conviene studiare l'espressione generale:

Per determinare gli eventuali punti estremali di tale funzione reale delle n+1 variabili reali c0,...,c_{n}, dobbiamo risolvere il sistema di equazioni

A tale scopo, esplicitiamo il primo membro

Calcoliamo a parte

dove troviamo la delta di Kronecker:

onde

Quindi

Ne consegue che il sistema precedente si riscrive

Cioè

Se poniamo

riesce

Per maggiore chiarezza

In altri termini, i punti estremali della predetta funzione sono tutte e sole le soluzioni (se esistono) del sistema di n+1 equazioni lineari nelle n+1 incognite c₀,c₁,...,c₁. Studiamo allora, la matrice dei coefficienti e la matrice dei coefficienti+termini noti:

Per il teorema di Rouche-Capelli:

Come è noto, il rango della matrice dei coefficienti è la caratteristica del sistema e solitamente si indica con p. Siccome tale matrice è quadrata di ordine n+1, allora p < =n+1. Se poi richiediamo anche l'unicità della soluzione, allora deve essere p=n+1. Ne segue

Rammentando l'espressione degli elementi di matrice di A, si ha che dobbiamo scegliere le n+1 funzioni φ_j(x) in modo da generare una matrice A non singolare. Verificata questa condizione, per la determinazione delle incognite si applica la nota regola di Cramer:

essendo Δ_i il determinante di ordine n+1 ottenuto da detA sostituendo la colonna i-esima con quella dei termini noti ((n+1)-esima colonna della matrice B). A titolo di esempio, riprendiamo la funzione f(x)=sin(e^{4x}) e applichiamo il procedimento appena esposto con le funzioni