[¯|¯] Cambiamento di base. Criterio di tensorialità

Marzo 8th, 2020 | by Marcello Colozzo |

Per quanto visto in precedenza, comunque prendiamo uno spazio vettoriale finito-dimensionale (su un campo K), è univocamente definito lo spazio vettoriale

i cui elementi sono i tensori misti di rango r+s. Ci proponiamo di stabilire la legge di trasformazione di tali enti in seguito a un cambiamento di base nel predetto spazio. A tale scopo, osserviamo innanzitutto che un cambiamento di base nello spazio vettoriale, per così dire, di partenza ossia E_{n}, induce un cambiamento di base nel duale e nel biduale e quindi, in E_n^(r,s). Infatti, assegnare una base in E_n equivale ad assegnare una base nel duale e nel biduale (ove quest'ultimo si identifica con E<_n a meno di un isomorfismo naturale). In simboli:

Ora non dobbiamo fare altro che scrivere le leggi di trasformazione dei vari vettori di base quando si passa da {e_i} a una nuova base {e_i'}. Denotando con α_i^j e ß_jⁱ gli elementi di matrice della matrice di passaggio P (dalla vecchia alla nuova base) e della sua inversa (gli indici in alto sono indici di riga), si ha:

Ritornando nello spazio vettoriale E_n^(r,s), dove una base è

si ha

In seguito al predetto cambiamento di base il medesimo tensore si scrive:

Per quanto precede

onde

che confrontata con l'eq. scritta più sopra

dove a secondo membro troviamo il vettore nullo di E_n^(r,s). Segue

Viceversa, possiamo scrivere il tensore T come combinazione lineare dei nuovi vettori di base:

Precisamente:

mentre nella vecchia base:

I vettori di base trasformano come

per cui

che confrontata con l'eq. scritta più sopra

Cioè

Le formule trovate esprimono il modo di trasformarsi di un tensore quando si passa da una base all'altra di E_n^(r,s). Più precisamente, sussiste il seguente
Criterio di tensorialità
Affinché un sistema di n^r+s grandezze

riferite a una base

possa essere considerato come il sistema delle componenti di un tensore r-covariante e s-covariante, occorre e basta che il predetto sistema si trasformi secondo la legge seguente:

o ciò che è lo stesso:

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