[¯|¯] Pallina che si muove lungo una catenaria

Marzo 1st, 2020 | by Marcello Colozzo |

catenaria,pallina,attrito,resistenza dell'aria

Esercizio
Una pallina di massa m è lasciata cadere lungo una guida disposta in un piano verticale, avente la forma di una curva regolare concava e di equazione y=f(x), dove f(x) è una funzione pari non negativa avente un minimo relativo in x=0. 1) Studiare il moto della pallina, trascurando l'attrito e la resistenza dell'aria. 2) Considerare il caso particolare y=coshx-1.

Soluzione
Dall'esercizio precedente segue che il quadrato del modulo della velocità vettoriale della pallina è

dove y₀ è l'ordinata del punto in cui viene lasciata cadere la pallina. In particolare, consideriamo come posizione iniziale il punto A(-x₀,y₀) con x₀ > 0. Segue

per cui

La pallina viene lasciata cadere nell'istante iniziale t=0, e raggiungerà il punto B(x₀,y₀) - simmetrico di A - rispetto all'asse y, in un istante che indichiamo con t₁. Ne consegue che la funzione x(t) è strettamente crescente in [0,t₁], per cui

avendo definito

Abbiamo, dunque, un'equazione differenziale che può essere integrata per separazione di variabili. Più precisamente, si ha il seguente problema di Cauchy:

Notiamo l'esistenza dell'integrale particolare x(t)=x₀ che risolve il predetto problema. Tuttavia, la derivata prima F'(x) ha una singolarità in x=x₀, per cui non possiamo applicare il teorema di Cauchy-Lipschitz

ottenendo l'integrale generale x(t,C), per poi determinare la costante di integrazione imponendo

Una volta ottenuta la funzione x(t), si determina

e quindi, le equazioni orarie del moto nell'intervallo [0,t₁]. L'istante t₁ è un istante di arresto con inversione del moto, ed è facile convincersi che si tratta di un moto periodico con periodo