[¯|¯] Pendolo parabolico di ordine n
Febbraio 29th, 2020 | by Marcello Colozzo |Esercizio (Pendolo parabolico di ordine n)
Una pallina di massa m è lasciata cadere lungo una guida disposta in un piano verticale, avente la forma di una parabola di ordine n, cioè y=αxn, dove α > 0 e n è un intero naturale pari. Studiare il moto della pallina, trascurando l'attrito e la resistenza dell'aria.
Soluzione
L'equazione della guida suggerisce l'esistenza di un sistema di coordinate la cui origine è il vertice della parabola. Per ipotesi la pallina è lasciata cadere da una altezza y0, per cui la sua energia meccanica iniziale è puramente potenziale:
Di contro, l'energia meccanica a tutti i tempi è
Trascurare l'attrito e la resistenza dell'aria equivale ad assumere la conservazione dell'energia meccanica:
Cioè
da cui vediamo che la pallina non potrà superare la quota iniziale. È facile convincersi che i moti componenti lungo gli assi coordinati sono periodici. In particolare, il moto lungo l'asse x avviene tra -x0 e +x0, dove
Segue
Ma
per cui
Il periodo del moto è
essendo