[¯|¯] Cambiamento di cobase

Febbraio 22nd, 2020 | by Marcello Colozzo |

base duale,cambiamento di base duale,cobase


Soluzione
Se rappresentiamo i vettori di R² con vettori colonna, i vettori dello spazio duale R2* sono rappresentati da vettori riga. Quindi


La base duale {θj} è tale che










Ricordiamo che un qualunque cambiamento di base è definito da:

dove gli indici in alto sono indici di riga, mentre quelli in baso sono indici di colonna, per le matrici (l'una è l'inversa dell'altra) che connettono le due basi:


essendo GL(2,R) il gruppo lineare su R di ordine 2. Per quanto detto, indici in alto -> indici di riga, quindi incolonnando i vettori della nuova base otteniamo

da cui


Quesito 2
Le componenti controvarianti si trasformano come

In termini di matrici

Nel nostro caso è


Cioè

Quesito 3
Si tratta di eseguire il cambiamento di base

indotto da {ei}->{e'i}. Dal momento che abbiamo indici scritti in alto:


e anche in questo caso possiamo servirci dell'algebra delle matrici, prestando attenzione a come scrivere i prodotti riga per colonna. Precisamente:

che è la matrice rappresentativa della forma lineare θ'1:

Per un qualunque vettore x

cosicché


Allo stesso modo per l'altro vettore della base duale:

che è la matrice rappresentativa della forma lineare θ'2:

Segue

cioè


Ne concludiamo che la base duale associata alla nuova base di R² è costituitd dalle forme lineari tali che


Questo risultato può apparire strano, in quanto compaiono le variabili x^{i} quali componenti controvarianti di un qualunque vettore di R². In realtà, ciò che conta sono i coefficienti di tali forme, cioè -1,3 per la prima, e 1,-2 per la seconda, che sono appunto le componenti dei covettori di base espressi nella vecchia base duale associata alla base canonica.

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