[¯|¯] Perché l'equazione di Thomas-Fermi non contiene la derivata prima?

Febbraio 21st, 2020 | by Marcello Colozzo |

equazione di thomas-fermi, derivata prima,equazione di poisson — **Fig. 1**

L'equazione di Thomas-Fermi è un'equazione differenziale del secondo ordine e nonlineare. Più specificatamente, è scritta in forma normale ossia risolta rispetto alla derivata di ordine massimo che in questo caso è 2. In generale, un'equazione di questo tipo ha la forma indicata in fig. 1 (in alto).

Detto in altro modo, nella Thomas-Fermi manca la derivata prima della funzione incognita, per cui ci si può chiedere il significato fisico di tale assenza. La risposta è banale, in quanto tale equazione deriva dall'equazione di Poisson che restituisce il potenziale scalare di un campo elettrostatico. Rammentiamo brevemente, che la predetta equazione è un'equazione differenziale alle derivate parziali del secondo ordine e che non contiene le derivate del primo ordine. Siccome nel caso dell'atomo di Thomas-Fermi abbiamo una simmetria sferica per ciò che riguarda il potenziale del campo elettrostatico, si ha che spariscono le derivate parziali rispetto alle variabili angolari, per cui l'equazione alle derivate parziali si riduce a un'equazione differenziale ordinaria.

A questo punto, ci si chiede: perché nell'equazione di Poisson non compare la derivata prima?. Diciamo che da un punto di vista formale, tale equazione è un caso particolare dell'equazione di D'Alembert non-omogenea, in cui la funzione incognita non dipende esplicitamente dal tempo (ed è proprio il caso di un campo elettrostatico). E ciò innesca una terza domanda: perchè manca la derivata prima nell'equazione di D'Alembert? (rispetto alle coordinate spaziali).

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