[¯|¯] Curve che si intrecciano ed iniettività locale

Febbraio 19th, 2020 | by Marcello Colozzo |

curva regolare,punto multiplo,iniettività locale — **Fig. 1**

Secondo alcuni Autori, una curva regolare è priva di punti multipli. Nell'approccio che invece stiamo seguendo, abbiamo rilassato tale condizione richiedendo però, il non annullarsi simultaneo delle derivate delle funzioni componenti della rappresentazione parametrica assegnata, affinché quest'ultima sia regolare. Per quanto visto, tale condizione garantisce l'iniettività locale della funzione vettoriale che implementa la predetta rappresentazione, ma non esclude la presenza di punti multipli, giacché l'iniettività locale non implica quella globale. La fig. 1 mostra l'esempio di una curva piana con un punto doppio.

Precisamente, se la funzione vettoriale

definisce una rappresentazione parametrica della curva in questione, si ha:

giacchè la curva ha un punto doppio. Dall'andamento vediamo che sia l'ascissa sia l'ordinata inizialmente sono funzioni crescenti di t, per poi raggiungere un massimo relativo, e quindi divenire funzioni decrescenti. Tuttavia, ci si aspetta (salvo casi particolari) che i massimi relativi vengono raggiunti per diversi valori del parametro, come vediamo in fig. 1.

Nel caso contrario, le derivate si annullerebbero simultaneamente e la rappresentazione sarebbe non regolare. Quindi per t₀ diverso da t₀', la funzione vettoriale x(t) conserva l'iniettività locale anche intorno ai predetti punti. Infatti: