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[¯|¯] Immagine di un'applicazione vettoriale

Febbraio 4th, 2020 | by Marcello Colozzo |

Alle funzioni vettoriali, quali applicazioni tra spazi vettoriali, si applicano le definizioni di suriettiva, iniettiva, bi-iettiva. In particolare:
Definizione

Assegnata una funzione vettoriale f:E->F, dicesi immagine di E attraverso f , l'insieme

Tale sottoinsieme di F è anche noto come immagine dell'applicazione f (anziché dello spazio vettoriale E).

Osservazione
Si badi che in generale, f(E) non è un sottospazio vettoriale di F. Come vedremo in seguito ciò si verifica solo per una particolare classe di applicazioni.

Esercizio
Determinare l'immagine della funzione vettoriale:

così definita

dove {i,j,k} è la base canonica di R³, mentre

con {e₁,e₂} base canonica di R².

Soluzione
Per definizione di immagine:

Ciò implica che le componenti della funzione vettoriale assegnata, nelle basi assegnate, sono

Ma

onde

Eliminando le variabili u₁,u₂:

che è l'equazione di un paraboloide ellittico. Ne concludiamo che l'immagine dell'applicazione assegnata, è il predetto paraboloide (fig. 1)

Tags: Funzioni vettoriali di una variabile vettoriale, Immagine di un'applicazione vettoriale, paraboloide ellittico

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