[¯|¯] Prodotto vettoriale

Dicembre 7th, 2019 | by Marcello Colozzo |

Siano a e b due vettori.

Dicesi prodotto vettoriale i a per b e si denota con uno dei due simboli:

il vettore avente modulo, direzione e verso definiti nel modo seguente

il modulo è absinθ, ove θ è l'angolo ( < π) tra i due vettori;

la direzione è quella della retta perpendicolare al piano determinato da a e b;

il verso è tale che

In fig. 1 è schematizzato il risultato del prodotto vettoriale dei vettori a e b.
Si noti che il modulo del prodotto vettoriale di a per b è l'area del parallelogramma i cui lati sono i segmenti rappresentativi di a e b. Il prodotto vettoriale è anti-commutativo

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Ed è distributivo rispetto all'addizione di vettori:

Inoltre

In particolare

Risulta

Permutando ciclicamente

Dimostriamo ora un importante teorema che fornisce la rappresentazione cartesiana del prodotto vettoriale.
Teorema
Il prodotto vettoriale di a per b è dato dallo sviluppo del seguente determinante "simbolico":

ove la seconda e terza riga sono date dalle componenti dei predetti vettori rispetto a un assegnato riferimento cartesiano ortogonale R(Oxyz).

Dimostrazione
Scriviamo

Segue

da cui tenendo conto della proprietà distributiva del prodotto vettoriale rispetto all'addizione di vettori, si perviene facilmente

cioè l'asserto.

Di immediata dimostrazione è il corollario
Corollario
Assegnato un riferimento cartesiano ortogonale R(Oxyz), le componenti cartesiane del prodotto vettoriale di a per b, sono i minori del secondo ordine e presi con segni alterni, della matrice 2×3 i cui elementi sono le componenti cartesiane dei predetti vettori: