[¯|¯] Test n.2 di Analisi vettoriale. Campi centrali solenoidali

Luglio 24th, 2019 | by Marcello Colozzo |

campo centrale,solenoidale, analisi vettoriale,divergenza

Esercizio
Un qualunque campo centrale il cui modulo va come r^-2, è solenoidale in R³\{0,0,0}.

Soluzione

Un campo vettoriale è centrale se il valore del campo dipende dalla sola coordinata radiale

ove abbiamo tacitamente assunto il centro del campo coincidente con l'origine delle coordinate. Ciò premesso, il più generale campo centrale può scriversi

essendo f(r) una funzione continua in [0,+oo) assieme alla derivata prima. Segue

Derivando rispetto a x

Permutando ciclicamente le variabili x,y,z e sommando le equazioni ottenute, si ha:

Siamo interessati ai campi centrali a divergenza nulla per r > 0 (solenoidali per r > 0)

L'integrale generale di tale equazione differenziale è

avendo escluso la soluzione banale (campo identicamente nullo). Si noti che tale soluzione è regolare in (0,+oo) avendo escluso il punto r=0 che è una singolarità per f. Per b > 0 abbiamo il campo gravitazionale newtoniano:

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