[¯|¯] Matrice del prodotto scalare rispetto a una base assegnata

Giugno 4th, 2019 | by Marcello Colozzo |

spazio euclideo,prodotto scalare, matrice

Esercizio
Sia P2[x] lo spazio vettoriale dei polinomi nell'indeterminata x (in R), di grado <= 2. Dopo aver dotato tale spazio di una struttura euclidea attraverso il prodotto scalare


determinare la matrice (gik) di tale prodotto scalare nella base Σ={1,x,x²}.

Soluzione

Osserviamo innanzitutto che


per cui i coefficienti a0,a1,a2 sono le componenti del vettore p nella base Σ. Similmente









Segue


o ciò che è lo stesso

con


avendo denotato con ei i vettori di base. Cioè

onde

Esplicitiamo i singoli elementi di matrice, ricordando che si tratta manifestamente di una matrice simmetrica.

da cui il risultato



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