[¯|¯] Alcune osservazioni sulle funzioni sommabili

Marzo 2nd, 2019 | by Marcello Colozzo |

funzioni sommabili,criteri di sommabilità,teorema,condizioni sufficienti ma non necessarie — **Fig. 1**.

Abbiamo stabilito l'esistenza di una classe di funzioni continue in (-oo,+oo) ed ivi sommabili, pur non annullandosi all'infinito. La più generale funzione della predetta classe è:

ove b > 0, mentre η(x) se non è una costante è divergente all'infinito. invece, la funzione χ(x) è periodica. Ad esempio:

Per quanto stabilito:

Ciò è una conseguenza del fatto che i criteri di sommabilità esprimono condizioni sufficienti ma non necessarie. Nel caso particolare della sommabilità in un intervallo illimitato, si ha, ad esempio:

Ciò premesso, dimostriamo il teorema:

Teorema

Dim.

Per fissare le idee, supponiamo X=(a,+oo). Procediamo per assurdo, negando la tesi:

dove

Segue (applicando la definizione di limite)

Dal momento che λ verifica la doppia disuguaglianza scritta più sopra

onde

Una volta fissato x₁ > δ_λ', l'estremo superiore di integrazione x₂ > x₁ può essere preso ad arbitrio:

Ponendo

si ha

cosicché l'integrale a primo membro è maggiore di un qualunque numero reale positivo, ovvero

Cioè f non è sommabile in [x₁,x₂], onde per il criterio 3 segue che f non è sommabile in X, contraddicendo l'ipotesi.
c.d.d.

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