» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Integrale generalizzato dipendente da un parametro

Febbraio 19th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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Esercizio
Discutere l'integrale generalizzato di fig. 1, dove x₀ è un numero reale fissato ad arbitrio , mentre h,α sono parametri reali e positivi.

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Soluzione
Si tratta di studiare la sommabilità della funzione positiva

nell'intervallo [x₀-h,x₀+h]. Tale funzione è graficata in fig. 1. Risulta

Prendiamo la successione di intervalli {T_n}; per essere più precisi, T_n è l'unione di due intervalli:

Segue

e

Calcoliamo a parte i due integrali:

Eseguiamo il cambio di variabile

onde

Per α diverso da 1:

Per α=1:

Riassumendo

Passiamo all'altro integrale, che può essere scritto come

Eseguiamo il cambio di variabile

per cui

Per α diverso da 1:

Per α=1:

Riassumendo

Poniamo

Segue

Osservando che

si ha per α > 1

Conclusione

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Tags: integrabilità, integrale generalizzato, parametro

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