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[¯|¯] Il teorema del Dini e l'inviluppo di una famiglia di curve piane

Dicembre 22nd, 2018 | by Marcello Colozzo |

In questo post studiamo la compatibilità del sistema che conduce alle equazioni parametriche della curva inviluppo,il sistema deve della famiglia di curve piane

Infatti, per quanto visto, occorre studiare la compatibilità del sistema:

Più precisamente, le equazioni appena scritte compongono un sistema le cui incognite sono le funzioni x(t),y(t). Nel linguaggio delle funzioni implicite, le predette equazioni definiscono implicitamente x e y in funzione di t. Ne consegue che per garantire l'esistenza di soluzioni, dobbiamo invocare il ben noto Teorema del Dini. A tale scopo, supponiamo che la funzione f sia definita in un campo A dello spazio euclideo R³. Ipotizziamo, poi, l'esistenza di almeno una soluzione del predetto sistema:

Definizione
Chiamiamo P punto soluzione del sistema.
Prendiamo un intorno del predetto punto soluzione:

che può essere riscritto come:

dove

Definizione
il sistema

è univocamente e localmente risolubile se

Ciò premesso, sussiste il seguente teorema:
Teorema del Dini
Ipotesi

1. 
2. Per un assegnato punto soluzione il seguente determinante jacobiano è diverso da zero:
   

Tesi
Il sistema

è univocamente risolubile in un intorno

tale che

La soluzione del sistema

è tale che le funzioni x(t) e y(t) sono di classe C¹ in I_δt.

Per la dimostrazione rimandiamo a [1]

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Tags: inviluppo di una famiglia di curve piane, teorema del Dini

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