» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Corpo di massa M sospeso a una fune omogenea

Dicembre 4th, 2018 | by Marcello Colozzo |

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Esercizio
Una fune omogenea ed inestensibile, di massa m e di lunghezza l, tiene sospeso il suo estremo A (vedi fig.1) un corpo di massa M, essendo l'altro estremo B vincolato al soffitto di una stanza. Detto C un qualunque punto della fune, quale è il modulo delle forze agenti in C, tra i due tronchi, AC e BC in cui essa risulta idealmente divisa?

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Soluzione

Assumiamo come sistema di riferimento, un asse y verticale orientato verso il basso, e con origine in B (fig. 1). Ne consegue che il generico punto C ha coordinata y appartenente all'intervallo [0,l].

L'omogeneità della fune implica che la sua densità (massa per unità di lunghezza) è una costante ρ₀ > 0. Le forze agenti sul tronco AC sono: la forza peso della massa M, cioè Mg, e il peso P_AC del tronco medesimo. Affinché AC sia in equilibrio statico, il tronco BC che sovrasta AC, deve esercitare su AC medesimo, una forza (tensione) T tale che

Eplicitiamo P_AC:

essendo m_AC la massa di AC. Per l'ipotesi di omogeneità

onde

Segue

Proiettando questa equazione vettoriale sull'asse y:

da cui ricaviamo T che risulta essere una funzione di y:

Si noti che

giacché y=0 è la coordinata del punto di attacco B che deve sostenere il peso della massa M e dell'intera corda. Di contro

cioè nel punto A la corda deve sostenere il solo peso del corpo di massa M. Vediamo, dunque, che T(y) diminuisce linearmente da T_max (all'estremo B) a T(l) corrispondente all'estremo libero A.

Per quanto precede, il tronco BC esercita una forza T sul tronco sottostante AC. Quest'ultimo per il terzo principio della dinamica, esercita su BC una forza -T. Ne concludiamo che il modulo della forze agenti in C, tra i due tronchi AC e BC, è pari a T che è appunto, la tensione trasmessa dalla corda.

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Tags: fune omogenea, peso, tensione

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