[¯|¯] Von Neumann e l'equazione di Schrödinger

Settembre 21st, 2018 | by Marcello Colozzo |

meccanica quantistica,von neumann,equazione di schrödinger

In questo paragrafo Von Neumann introduce l'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo in modalità euristica, citando il capitolo in cui la predetta equazione viene "tirata fuori" in maniera più rigorosa (dopo aver introdotto la nozione di spazio di Hilbert). Un'altra cosa che dà per scontata (ma che comunque promette di dimostrare successivamente) è l'esistenza di un sistema completo ed ortogonale, di autofunzioni dell'operatore differenziale hamiltoniano. Nella trattazione contenuta nel file allegato (vedi più sotto), ho aggiunto "molto di mio", come ad esempio la rinuncia ad impostare un problema di Cauchy per l'equazione di Schrödinger, in quanto si tratta di un'equazione differenziale alle derivate parziali, per cui il predetto problema è tutt'altro che maneggevole.

Al contrario, la corrispondente equazione in forma operatoriale è immediatamente integrabile per separazione di variabili. Si pone, tuttavia, il problema quando il valore iniziale non è autofunzione, per cui interviene il citato teorema della completezza di un sistema di autofunzioni per un tale tipo di operatore. Tutto ciò permette di bypassare fisiologicamente la difficile integrazione dell'equazione alle derivate parziali.

Scarica il pdf della lettura n° 03.

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In this paragraph Von Neumann introduces the time dependent Schrödinger equation in heuristic mode, citing the chapter in which the aforementioned equation is "drawn out" in a more rigorous way (after having introduced the notion of Hilbert space ). Another thing he takes for granted (but promises to prove later) is the existence of a complete and orthogonal system of eigenfunctions of the Hamiltonian differential operator. In the discussion contained in the attached file (see below), I have added "a lot of mine", such as the refusal to set up a Cauchy problem for the Schrödinger equation, as it is a partial differential equation , so the aforementioned problem is far from manageable.

On the contrary, the corresponding equation in operator form is immediately integrable by separation of variables. However, the problem arises when the initial value is not an eigenfunction, for which the aforementioned theorem of the completeness of a system of eigenfunctions for this type of operator intervenes. All this allows to physiologically bypass the difficult integration of the partial differential equation.

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