» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Interpretazione quantistica della funzione zeta di Riemann

La funzione zeta di Riemann opportunatamente parametrizzata, è la somma della serie (più precisamente, per x<1 è un'estensione olomorfa) i cui termini sono le autofunzioni dell'energia di un sistema quantistico non relativistico, che compie un moto unidimensionale nella regione x>=0 sede di un campo di forze conservativo di energia potenziale V(x) formalmente definita dalla funzione impropria (barriera di potenziale): V(x)=+oo, se x<0.

CORREZIONE. La proprietà scritta in quel modo, è sbagliata perché il sistema di funzioni {u_n(x)} non è ortonormale, quindi non è una base ortonormale dello spazio di Hilbert L^2(R), e perciò non possono essere autofunzioni di un operatore hermitiano, quale è l'hamiltoniano di un sistema quantistico. Però sicuramente {u_n(x)} è linearmente indipendente, quindi può essere ortnormalizzato applicando il procedimento di Gram-Schmidt.

Per la dimostrazione di questa proprietà, scarica il pdf

Tags: autofunzioni dell'energia, barriera di potenziale, funzione Zeta di Riemann