[¯|¯] Problema di Cauchy: ricerca di soluzioni

Luglio 25th, 2017 | by Marcello Colozzo |

equazioni differenziali,problema di cauchy,teorema di esistenza ed unicità
Fig. 1. Per u0=0 il problema di Cauchy assegnato ammette una ed una sola soluzione, giacché il secondo integrale assume in x=0 il valore -u0. Viceversa, i due valori coincidono (=0) per u0=0, onde in tal caso si hanno due soluzioni.

Discutere il problema di Cauchy

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al variare del parametro reale u0.
Soluzione
Qui abbiamo l'equazione differenziale
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ove
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funzione reale delle variabili reali x,y definita in

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La funzione f(x,y) è continua in A assieme alla derivata rispetto a y
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Quindi per il teorema di esistenza ed unicità
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essendo I=(-δ,δ) un intorno di x=0. L'equazione differenziale è a variabili separabili ed è priva di integrali costanti.









Separando le variabili ed integrando

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Segue
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avendo introdotto la nuova costante di integrazione C=2C1.


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