» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Applicazioni continue

Nella lezione. abbiamo introdotto la nozione di omeomorfismo nel caso euclideo, riferendoci in particolare a R¹ attraverso l'esempio della funzione tan(x) che risulta essere un omeomorfismo tra l'aperto (-π/2,π/2) e R¹ medesimo (vedasi fig. 1). Tuttavia, per rendere operativa la definizione di varietà topologica dobbiamo estendere la definizione di omeomorfismo tra aperti di punti di uno spazio di Hausdorff e aperti di Rⁿ. A tale scopo rammentiamo che un omeomorfismo è un'applicazione continua e iniettiva e suriettiva con inversa continua. Quindi, il primo passo consiste nell'estendere la nozione di continuità da Rⁿ a un qualunque spazio topologico (S,Θ). Come è ben noto, nel caso euclideo un'applicazione

si dice continua in un punto P₀ di A se

dove

denota un intorno di f(P₀) di raggio ε, mentre

indica un intorno di P₀ di raggio δ_ε. Passiamo ora a un'applicazione tra due spazi topologici (S,Θ) e (S',Θ'). Precisamente, diremo che l'applicazione

è continua in un punto p₀ di S se

Se f risulta continua in ogni punto di S, diremo che f è ivi continua. Si noti come abbiamo utilizzato la "notazione topologica" per denominare i rispettivi intorni. La definizione appena vista diviene identica a quella precedente se S è un sottoinsieme di Rⁿ e S'=R, assumendo come topologia per i rispettivi spazi, la topologia euclidea. Siamo ora in grado di definire:

Definizione
Assegnati gli spazi topologici (S,Θ) e (S',Θ'), l'applicazione

è un omeomorfismo se è iniettiva, suriettiva e continua, insieme all'inversa φ^-1.

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