[¯|¯] Oscillazioni forzate

Marzo 15th, 2017 | by Marcello Colozzo |

Applichiamo all'oscillatore armonico, una forza dipendente dal tempo secondo la legge:

Attenzione: qui F(t) è la forza per unità di massa.
Il secondo principio della dinamica fornisce
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che è un'equazione differenziale del secondo ordine non omogenea e a coefficienti costanti. Dalla teoria sappiamo che in tal caso l'integrale generale si ottiene sommando a un integrale particolare x₁(t) l'integrale generale dell'equazione omogenea associata:

che può comunque essere messo nella forma:
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Un integrale particolare dell'equazione completa può scriversi:

"Forziamo" questa funzione affinchè soddisfi l'equazione da risolvere:
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quindi

da cui l'ampiezza B
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Cioè

Finalmente l'integrale generale
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Imponendo le condizioni iniziali

si ha l'ascissa dell'oscillatore in funzione del tempo:

Se x0=0:

da cui vediamo che x(t) è la differenza di due oscillazioni armoniche aventi la stessa ampiezza. Precisamente:

La prima oscillazione ha pulsazione Ω, mentre la seconda oscilla con la pulsazione caratteristica ω₀. I corrispondenti periodi delle oscillazioni componenti sono:

Ne consegue che x(t) è una funzione periodica se e solo se i periodi T1 e T0 hanno in comune un multiplo minimo. A titolo d'esempio supponiamo:
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cosicchè

Cioè

è periodica di periodo 2π e quindi ha una pulsazione ω=1rad/s.
Consideriamo ora l'oscillazione
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