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[¯|¯] Oscillatore armonico unidimensionale ideale

Marzo 15th, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Definizione
L'oscillatore armonico unidimensionale è un sistema meccanico composto da un punto materiale di massa m che può muoversi su un piano orizzontale dove è vincolato a una molla ideale di massa nulla.

Fissiamo un riferimento cartesiano (Ox) con l'asse x contenuto nel piano orizzontale che sia parallelo all'asse della molla e orientato nel verso dell'allungamento di quest'ultima. Se allunghiamo la molla di una quantità x (che per quanto precede è >0), sul punto agisce una forza elastica di richiamo:

dove i è il versore dell'asse x (cfr. fig. 1), mentre k>0 è la costante elastica della molla.

Se il punto materiale rimane in quiete significa che stiamo applicando una forza:

necessaria per allungare la molla della quantità x. Se all'istante t=0 rimuoviamo la forza F' e se non sono presenti forze di attrito o resistenze passive, sul punto materiale agisce la sola forza elastica. In tal caso il secondo principio della dinamica si scrive:

da cui otteniamo l'equazione scalare

ovvero l'equazione differenziale

avendo definito la grandezza:

con le dimensioni dell'inverso di un tempo e che si chiama - per una ragione che apparirà chiara in seguito - pulsazione o frequenza angolare dell'oscillatore. L'evoluzione dinamica dell'oscillatore è dunque governato dal seguente problema di Cauchy:

dove A>0 è l'allungamento iniziale della molla, e v0 la velocità iniziale con cui il punto materiale viene rilasciato dopo che abbiamo allungato la molla. L'equazione differenziale dell'oscillatore armonico è un'equazione differenziale del secondo ordine omogenea e a coefficienti costanti, per cui applichiamo il procedimento standard per la ricerca dell'integrale generale.








Precisamente, l'equazione caratteristica è

da cui le radici complesse coniugate

E quindi l'integrale generale

Per la formula di Eulero

per cui

Se ora poniamo

si ha

che può essere messa in una forma più intuitiva, eseguendo il cambio di costanti di integrazione:

tali che

L'integrale generale diventa

Imponiamo le condizioni iniziali

L'unica soluzione di tale sistema di equazioni è

Ne concludiamo che l'equazione oraria dell'oscillatore armonico è:

che è una funzione periodica di periodo

e quindi frequenza angolare ω₀. L'ampiezza delle oscillazioni è

mentre la fase è pari a φ. Nel caso di velocità iniziale nulla:

dove A si chiama ora elongazione.

La velocità si ottiene immediatamente derivando la funzione x(t):

che per v0=0 si snellisce in

che può essere graficata assieme all'ascissa, ottenendo il diagramma di fig. 2.

Tags: Equazioni differenziali, forze elastiche, oscillatore armonico

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