[¯|¯] Oscillatore armonico unidimensionale ideale

mercoledì, Marzo 15th, 2017

oscillatore armonico, equazioni differenziali,forze elastiche — **Fig. 2. Ascissa e velocità di un oscillatore armonico unidimensionale in condizioni di idealità.**

Definizione
L'oscillatore armonico unidimensionale è un sistema meccanico composto da un punto materiale di massa m che può muoversi su un piano orizzontale dove è vincolato a una molla ideale di massa nulla.

Fissiamo un riferimento cartesiano (Ox) con l'asse x contenuto nel piano orizzontale che sia parallelo all'asse della molla e orientato nel verso dell'allungamento di quest'ultima. Se allunghiamo la molla di una quantità x (che per quanto precede è >0), sul punto agisce una forza elastica di richiamo:

dove i è il versore dell'asse x (cfr. fig. 1), mentre k>0 è la costante elastica della molla.

Se il punto materiale rimane in quiete significa che stiamo applicando una forza:

necessaria per allungare la molla della quantità x. Se all'istante t=0 rimuoviamo la forza F' e se non sono presenti forze di attrito o resistenze passive, sul punto materiale agisce la sola forza elastica. In tal caso il secondo principio della dinamica si scrive:

da cui otteniamo l'equazione scalare
oscillatore armonico, equazioni differenziali,forze elastiche

ovvero l'equazione differenziale
oscillatore armonico, equazioni differenziali,forze elastiche

avendo definito la grandezza:

con le dimensioni dell'inverso di un tempo e che si chiama - per una ragione che apparirà chiara in seguito - pulsazione o frequenza angolare dell'oscillatore. L'evoluzione dinamica dell'oscillatore è dunque governato dal seguente problema di Cauchy:

dove A>0 è l'allungamento iniziale della molla, e v0 la velocità iniziale con cui il punto materiale viene rilasciato dopo che abbiamo allungato la molla. L'equazione differenziale dell'oscillatore armonico è un'equazione differenziale del secondo ordine omogenea e a coefficienti costanti, per cui applichiamo il procedimento standard per la ricerca dell'integrale generale.
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