» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Un approccio computazionale al NOISE

Introduzione. L'ipotesi ergodica

L'approccio standard allo studio del noise è di natura statistica. Più precisamente, si assume come ipotesi di lavoro la cosiddetta ipotesi ergodica che permette di sostituire la media temporale di una grandezza aleatoria y(t) con la media d'insieme:

dove Y è l'insieme dei valori assunti da y(t) e P(y,t) è la densità di probabilità: P(y0,t)dy è la probabilità infinitesima che una misura di y all'istante t fornisca un valore appartenente all'intervallo infinitesimo [y0,y0+dy]. Particolarmente diffusi sono processi aleatori stazionari, i.e. processi in cui la densità di probabilità non dipende esplicitamente dal tempo:

La stazionarietà di un processo aleatorio è una condizione necessaria (ma non sufficiente) per l'ergodicità. Più precisamente, un processo aleatorio è ergodico se le medie di insieme coincidono con le medie temporali:

dove

I processi aleatori che ci interessano sono ergodici, perciò per il calcolo dei valori medi ci riferiamo alla formula vista prima. Una grandezza statisticamente significativa è la varianza:

che nel caso di media nulla si riduce a . Risulta

cioè la potenza della grandezza y(t). Lo step successivo consiste nel descrivere l'evoluzione temporale di una variabile aleatoria y(t) attraverso la funzione di autocorrelazione

che si dimostra essere (teorema di Wiener-Khintchine
la trasformata di Fourier dello spettro di potenza w(ω), definito da

Cioè

Da queste formule appare chiaro che lo studio statistico del noise è fondamentalmente basato sull'analisi dello spettro di potenza.

Rinunciare all'ipotesi ergodica

Rinunciare all'ipotesi ergodica equivale a sostituire l'analisi nel dominio delle configurazioni all'analisi nel dominio del tempo. Sembra un'operazione impossibile proprio per come sono definite le variabili aleatorie. A questo punto ricordiamo la distinzione tra grandezze deterministiche e grandezze aleatorie:
Il valore di una grandezza deterministica y_det in un istante t' è univocamente determinato dal valore assunto in un generico istante t minore di t'. In simboli:

Per una grandezza aleatoria y_al il valore assunto in t' non è univocamente determinato dai valori assunti a tempi t minore di t'. Però può accadere:

essendo P(y_al(t')) la densità di probabilità di misurare il valore y_al(t'). Secondo le formule precedenti la probabilità che in un istante t'>t la grandezza y_al} assuma un assegnato valore, è univocamente determinata dal valore assunto da y_al al tempo t. Ciò si esprime dicendo che y_al(t') è correlato a y_al}(t). Nel caso contrario, diremo che i suddetti valori sono scorrelati. Poniamo

dove abbiamo omesso il pedice "al". Se P(y1,y2) è la densità di probabilità congiunta, si ha:

È chiaro che

Ripristinando la notazione precedente:

Per quanto visto nella sezione precedente, è utile definire la funzione di autocorrelazione:

Eseguendo il cambio di variabile:

si ha

che esprime φ in funzione di τ, per un assegnato istante t che a volte viene posto pari a zero:

o ciò che è lo stesso:

Per τ->+oo la correlazione sparisce, cosicché la funzione φ(t) è infinitesima all'infinito:

Il punto di vista dell'Analisi Matematica

Nel paradigma dell'Analisi Matematica una variabile deterministica è una funzione reale di una variabile reale che nel caso in esame, è il tempo t. Quindi

dove X è un sottoinsieme di R (solitamente è l'intervallo [0,+oo)). Il termine "deterministico" nasce dal fatto che una arbitraria funzione f(t) è comunque l'unica soluzione di un assegnato problema di Cauchy. Ad esempio, la funzione f(t)=sin(t) è l'unica soluzione del problema di Cauchy:

Dal momento che l'esistenza ed unicità delle soluzioni di un problema di Cauchy esprime il determinismo fisico nel senso che le condizioni inziali determinano univocamente l'evoluzione temporale della grandezza in esame, appare naturale denominare deterministica una tale grandezza. Di contro, le variabili aleatorie non possono essere definite come un'ordinaria funzione né tantomeno attraverso un assegnato problema di Cauchy, a meno di invocare le cosiddette equazioni differenziali stocastiche.

Simulazione del noise con Mathematica

L'ambiente di calcolo Mathematica permette di simulare un noise i.e. una grandezza aleatoria descritta da un'assegnata distribuzione di probabilità. Un caso abbastanza immediato è offerto dal cosiddetto white noise (rumore bianco) caratterizzato da uno spettro di potenza piatto. È facile persuadersi che per un white noise la funzione di autocorrelazione è una delta di Dirac centrata nell'origine, per cui tale variabile aleatoria è scorrelata al 100% nel tempo. A questo punto basta chiedere a Mathematica di generare una lista di numeri reali casuali di valor medio 0 e varianza assegnata, come spiegato in questa risorsa. È chiaro che non abbiamo a disposizione una funzione nel senso ordinario del termine, ma solo una lista di numeri. Tuttavia a partire da questa lista, possiamo ricavare una funzione utilizzando il comando Interpolation[] che restituisce un oggetto che in Mathematica è noto come InterpolatingFunction. Abbiamo dunque una funzione del tempo a tutti gli effetti e che può essere trattata nell'usuale paradigma dell'analisi matematica. Ad esempio, possiamo calcolarne la derivata, l'integrale indefinito, etc. Ad esempio, assegnato un white noise y(t) del tipo graficato di seguito

definiamo

che può essere assunta come "primitiva" di un white noise. Il suo grafico è riportato in fig. 1, da cui vediamo che somiglia molto a un Brown noise che come è noto, è un white noise filtrato.

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