Le condizioni di Dirichlet

Aprile 3rd, 2016 | by Marcello Colozzo |

Sto preparando un articolo per Emcelettronica sul fenomeno di Gibbs, per cui ho "rispolverato" alcuni vecchi tomi, come ad esempio l'ottimo Teoria ed applicazioni della serie di Fourier. di Carlo Cercignani. In questo testo sono riportate le ben note condizioni di Dirichlet che sono sufficienti (ma non necessarie) per la convergenza della serie. Tra tali condizioni troviamo la richiesta che la funzione da sviluppare sia a variazione limitata, e cioè che sia 1) continua a tratti, 2) dotata al più di un numero finito di massimi/minimi. Ad esempio, la ben nota funzione f(x)=x*sin(1/x) per x=/0, e 0 per x=0, non è a variazione limitata pur essendo continua su tutto l'asse reale. Ciò perchè, la funzione oscillando infinite volte in ogni intorno di x=0, assume infiniti massimi e minimi.

Il Cercignani asserisce poi che tale condizione può essere indebolita: la funzione può avere anche delle singolarità, a patto che esse siano isolate e che la funzione medesima sia sommabile (quest'ultima richiesta assegna un senso agli integrali definiti che permettono il calcolo dei coefficienti di Fourier). È chiaro che una tale funzione NON è a variazione limitata, in forza delle singolarità. Allora ho provato a studiare la convergenza della serie nel caso della funzione periodica di periodo T=2/pi:

serie di fourier,fenomeno di gibbs,condizioni di dirichlet

il cui grafico è:

Qui il problema è di natura computazionale per ciò che riguarda il calcolo degli integrali. Comunque, calcolando con Mathematica i coefficienti abbiamo ricostruito la somma parziale di ordine 15 che confrontata con la funzione, restituisce il seguente grafico: