[¯|¯] Punti di discontinuità di funzioni di più variabili

Gennaio 6th, 2015 | by extrabyte |

La funzione f(x,y)=log(sqrt(x^2-y^2)) ha una singolarità nell'orgine (0,0). Infatti calcolando il limite per (x,y)->(0,0) si ottiene -oo.
La funzione è definita in R^2-{(0,0)}, cioè in tutto lo spazio R^2 privato dell'origine.

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Un esempio di funzione reale di due variabili reali (x,y) che presenta una discontinuità eliminabile è f(x,y)=sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2). Tale funzione non è definita nel punto (0,0), ma il limite corrispondente è pari a 1 (si calcola facilmente passando alle coordinate polari nel piano), per cui la funzione può essere prolungata per continuità attraverso la nuova funzione g(x,y)=1, per (x,y), e g(x,y)=f(x,y) per (x,y)=/=(0,0).
Di seguito il grafico della funzione:
funzione due variabili,singolarità

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Consideriamo una grandezza fisica u il cui valore dipende dalla somma dei quadrati delle coordinate cartesiane nello spazio euclideo tridimensionale. Quindi: u=f(x^2+y^2+z^2).
Passando alle coordinate sferiche (r, theta, phi) verificare che sono nulle le derivate parziali rispetto alle variabili angolari.

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