[¯|¯] Esercizio 3 (sulle funzioni pari e funzioni dispari)

Settembre 24th, 2014 | by extrabyte |
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Siano date le funzioni definite in \mathbb{R}: f_{1}\left(  x\right) (pari), f_{2}\left(  x\right) (pari), f_{3}\left(  x\right) (dispari), f_{4}\left(  x\right) (dispari). Posto g_{1}\left(  x\right)=f_{1}\left(  x\right)  f_{2}\left(  x\right)  ,\,\,g_{2}\left(  x\right)=f_{3}\left(  x\right) f_{4}\left(  x\right), g_{3}\left(  x\right)=f_{1}\left(  x\right)  f_{3}\left(  x\right), mostrare che g_{1}\left(x\right) e g_{2}\left(  x\right) sono funzioni pari, mentre g_{3}\left(  x\right) è dispari.



Svolgimento

Risulta f_{1}\left(  x\right)  =f_{1}\left(  -x\right)  ,\,\,f_{2}\left(x\right)  =f_{2}\left(  -x\right), per cui:

f_{1}\left(  x\right)  f_{2}\left(  x\right)  =f_{1}\left(  -x\right)f_{2}\left(  -x\right)  ,


cioè g_{1}\left(  x\right)  è pari.

Passiamo alla funzione g_{2}\left(  x\right); abbiamo f_{3}\left(  x\right)  =-f_{3}\left(-x\right), f_{4}\left(  x\right)  =-f_{4}\left(  -x\right), per cui:

f_{3}\left(  x\right)  f_{4}\left(  x\right)  =\left[  -f_{3}\left(-x\right)  \right]  \left[  -f_{4}\left(  -x\right)  \right]  =f_{3}\left(x\right)  f_{4}\left(  x\right)  ,


cioè g_{2}\left(  x\right) è pari.

Passiamo alla funzione g_{3}\left(  x\right) ; abbiamo f_{1}\left(  x\right)  =f_{1}\left(-x\right), f_{3}\left(  x\right)  =-f_{3}\left(  -x\right) , per cui:

f_{1}\left(  x\right)  f_{3}\left(  x\right)  =f_{1}\left(  -x\right)  \left[-f_{3}\left(  -x\right)  \right]  =-f_{1}\left(  x\right)  f_{4}\left(x\right)  ,


cioè g_{3}\left(  x\right)  è dispari.

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