[¯|¯] Calcolo di limiti: le forme indeterminate

Settembre 9th, 2014 | by extrabyte |

Nel calcolo del limite della somma di due funzioni ci si imbatte sovente nella forma indeterminata $\infty-\infty$ . Ad esempio, supponiamo di avere due funzioni $f_{1}$ e $f_{2}$ ; se, ad esempio, in $x_{0}$ la funzione $f_{1}$ diverge positivamente e la funzione $f_{1}$ diverge negativamente, la somma $f_{1}+f_{2}$ si presenta nella forma indeterminata $\infty-\infty$ .

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f_{1}\left( x\right) =+\infty,\;\lim_{x\rightarrow x_{0}}f_{2}\left( x\right) =-\infty,$

\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left[ f_{1}\left( x\right) +f_{2}\left(x\right) \right] =\infty-\infty
\end{equation}Tale forma si dice indeterminata, poichè la somma può essere, in

$x_{0}$ , divergente, convergente, non regolare. In parole povere, si ha una indeterminazione sul comportamento della funzione

$f_{1}+f_{2}$ nel punto

$x_{0}$ .
In maniera simile, si incontrano forme indeterminate nel calcolo del limite del prodotto di due funzioni, nel rapporto e nell'elevazione a potenza.

Come si rimuove l'indeterminazione?

Non esiste una regola generale. Si utilizzano degli artifici che variano caso per caso. Ciò sarà l'argomento di post futuri. Per ora ci limitiamo ad allegare uno specchietto che non riguarda le forme indeterminate, ma che include il risultato di operazioni elementari coinvolgenti i simboli convenzionali $+\infty$ e $-\infty$ .