[¯|¯] Funzioni periodiche

Settembre 2nd, 2014 | by extrabyte |

Definizione
Una funzione f:X->R si dice periodica se

Il numero reale T > 0 è il periodo della funzione.

Tale definizione implica che l'insieme di definizione X è illimitato sia superiormente, sia inferiormente giacchè

In alcune applicazioni (la serie di Fourier) il numero reale T si chiama periodo fondamentale della funzione. Tale denominazione deriva dal fatto che comunque prendiamo un intero naturale non nullo n, il numero reale nT è ancora un periodo della funzione. Risulta

dove

Cioè l'immagine di X tramite f coincide con l'immagine di A tramite f. Quest'ultima è il codominio della restrizione di f all'insieme A, ovvero della funzione f_A:A->R.
Il diagramma cartesiano di una funzione f definita in X illimitato e periodica di periodo T, è l'unione di un numero infinito di archi ciascuno dei quali è il grafico della restrizione f_A traslato lungo l'asse x con traslazione di ampiezza |k|T, dove k è un intero relativo. Per k > 0 la traslazione è nel verso delle x crescenti, mentre per k < 0 è nel verso delle x decrescenti. Cioè:

essendo &Gammasub>k:y=f_A(x) traslato lungo l'asse x di |k|T. Precisamente:

Abbiamo, dunque, una successione di archi di cuva

Esplicitando i singoli termini:

Ad esempio, Γ₂ è la curva y:f_A(x) traslata nella direzione dell'asse x con una traslazione di ampiezza 2 nel verso delle x crescenti, mentre Γ_-2 è la curva y:f_A traslata nella direzione dell'asse x con una traslazione di ampiezza 2 nel verso delle x decrescenti, come illustrato in fig. 1.