[¯|¯] Teorema sulla somma di limiti

Agosto 20th, 2014 | by extrabyte |

Un errore comune è quello di applicare "alla cieca" il teorema della somma di limiti, espresso dalla formula:

Il teorema può essere applicato solo se entrambe le funzioni f1 e f2 sono regolari in x₀ (cioè ammettono limite). Se ad esempio, f2 è non regolare, si è portati a concludere (in base a quella formula) che nemmeno la somma f1(x)+f2(x). Ecco un controesempio, la funzione f(x)=x + sin(x). Per x->+oo, sappiamo che sin(x) non è regolare, ma è facile verificare che la somma x + sin(x) è divergente (quindi regolare).

Intuitivamente, ciò è dovuto al fatto che il termine x presente nell'espressione analitica della somma, "ruota" la regione contenente il grafico della funzione stessa. In parole povere, mentre il grafico di sin(x) è inviluppato dalle rette orizzontali y=+1 e y=-1, il grafico di x+sin(x) è inviluppato dalle rette y=x+1 e y=x-1 che formano un angolo di pi/4 con l'asse x. Conseguentemente, il grafico (che oscilla tra le due rette) è ruotato di pi/4. Ciò implica che 1) la funzione non è più periodica, 2) tende a +oo per x->+oo e a -oo per x->-oo, come possiamo vedere dal grafico seguente.