[¯|¯] Numeri irrazionali e numeri complessi

lunedì, Maggio 21st, 2018

numeri razionali,numeri irrazionali,numeri complessi

Come abbiamo visto in questa lezione, i numeri reali descritti con un numero finito di termini dopo la cifra sono numeri razionali. A questo punto rimane in sospeso la questione se tutti i numeri con infinite cifre significative dopo la virgola siano irrazionali. Dagli esempi già precedentemente introdotti, la risposta è negativa. Gli esempi citati ci dicono che vi sono numeri razionali che hanno un numero infinito di termini dopo la virgola, ma sono periodici. Dimostriamo la seguente asserzione: ogni reale con una parte frazionaria infinita ma periodica è un numero razionale. Per prima cosa torniamo all'esempio esaminato nella lezione precedente, ovvero:

Tale numero si può scrivere come

da cui vediamo che il numero si ripete ogni 6 posti, quindi ogni potenza di 10^-6. Definiamo dunque:

mentre p è un intero della forma:

Siccome p è periodico si ripeterà ogni h posti. Ciò implica che possiamo riscrivere r nella seguente forma:

che è manifestamente razionale. (L'ultimo passaggio avviene per via della somma di una serie geometrica di ragione 10^-h).

Dunque si distinguono tre categorie di numeri frazionari: quelli finiti, quelli infiniti ma periodici e quelli infiniti ma non periodici. I primi due tipi provengono da numeri razionali, l'ultima specie da quelli irrazionali. Come si fa a dirlo? Perché siccome i numeri con parte frazionaria finita o periodica sono numeri razionali, non possono venire da numeri irrazionali, che quindi trovano posto solo nei numeri frazionari infiniti non periodici. Tale distinzione, è la base della differenza tra queste due tipologie di numeri.
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[¯|¯] Numeri razionali ed irrazionali

domenica, Maggio 20th, 2018

numeri razionali,numeri irrazionali,numeri periodici

Per quanto precede l'insieme dei numeri reali R è partizionato attraverso i numeri razionali ed i numeri irrazionali. Soffermiamoci un attimo sui primi. Di solito quando abbiamo a che fare con i numeri ci troviamo di fronte a numeri interi o con la virgola, ad esempio 41513,768 che è un numero reale. Ma anche 2/3 è un numero reale, come pure p, seppure il primo è razionale ed i secondo è irrazionale. Ma quello che ci interessa, è che un numero razionale può essere rappresentato in due modi, o come il rapporto tra due interi, come già precedentemente si è visto, oppure in forma prettamente numerica. È per questo che si ha bisogno di una "scatola" con una "etichetta", perché possono esistere tante frazioni che rappresentano lo stesso numero razionale. Ad esempio, il numero 0,2 equivale alla frazione 1/5, ma anche alle frazioni 2/5,3/15,4/20 e così via. Ma qualunque modo scegliamo di rappresentarlo, alla fine il risultato numerico sarà sempre 0,2. Quindi vi sono infiniti modi di rappresentare lo stesso numero razionale simbolicamente. Perché questo ci interessa? Ci interessa perché la differenza tra un numero razionale ed un numero irrazionale si vede proprio dal modo in cui si esprime in modo reale. Per fare questo bisogna fare un po' di nomenclatura. Prendiamo ad esempio il numero 41513,768 che può essere scritto attraverso la seguente espansione:

L'idea è di scriverlo come somma di cifre da 0 a 9 moltiplicate per una potenza di 10, se la potenza è maggiore uguale a zero, allora si avrà una parte intera, se invece è minore di zero si avrà la parte frazionaria del numero. In modo più compatto:

dove [·] e (·) denotano rispettivamente la parte intera e la parte frazionaria. Perché è stata estesa la somma all'infinito? Perché vogliamo abbracciare tutti i numeri possibili, senza esclusione. Ora se la somma che compete alla parte intera di x da un certo punto in poi ha i coefficienti nulli, allora parleremo di un numero finito, ed è la tipologia che tratteremo, e di questi ci interessa la parte frazionaria. Perché? Perché la parte frazionaria di un numero ci dice che tipo di numero è (razionale o irrazionale). Se la parte frazionaria dopo la virgola è finita, cioè da un punto in poi dell'indice i coefficienti sono nulli, allora il numero è sicuramente razionale. Come si fa a dirlo? Semplice: scriviamo x come somma della sua parte intera e della sua parte frazionaria. Essendo quest'ultima finita, dovrà aversi: