[¯|¯] Viaggiare nel tempo negli universi di Gödel

Marzo 29th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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In occasione del 70° compleanno di Albert Einstein, il famoso logico matematico Kurt Gödel regalò al sommo fisico una nuova soluzione delle omonime equazioni di campo. Negli anni immediatamente successivi, tale soluzione venne denominata universo di Gödel. Per comprendere tali concetti bisogna prima aver studiato Relatività Generale e quindi, Calcolo tensoriale.

Tuttavia, è possibile implementare un modello giocattolo di universo di Gödel, in modo da comprenderne le basi. Innanzitutto, riferiamoci a degli "essere unidimensionali" ovvero a degli organismi che vivono in uno spazio ad una sola dimensione. Per inciso, il nostro spazio ambiente è tridimensionale e il corrispondente spaziotempo è quadridimensionale. Non siamo in grado di percepire quest'ultimo, in quanto la nostra percezione è "bloccata" alla terza dimensione. Proprio per questa ragione svincoliamoci da un paio di dimensioni spaziali, in modo da concepire uno spazio ambiente unidimensionale. Quale è il più semplice spazio unidimensionale? Risposta: la retta. Dunque, questi ipotetici "esseri/organismi" popolano una retta di uno spazio euclideo. Il corrispondente spaziotempo è bidimensionale. Precisamente, è un piano in cui possiamo istituire un sistema di coordinate cartesiane, ove in ascisse riportiamo la coordinata spaziale x che individua un generico punto della retta, e in ordinate la grandezza c*t dove c è la velocità della luce nel vuoto, mentre t è il tempo. Ne consegue che ogni punto di tale spazio è un evento che si verifica in x al tempo t. Al trascorrere del tempo da -oo a +oo verrà quindi individuato un luogo geometrico del predetto spazio, noto come linea di universo. Ad esempio la linea di universo di un punto fermo avente ascissa x₀, è una retta per tale punto e parallela all'asse delle ordinate, come illustrato nella seguente figura:

Tutto questo ci sta dicendo che per un "omino" fermo nel punto dello spazio unidimensionale di ascissa x₀, il tempo scorre "linearmente" da -oo a +oo (in realtà, in un appropriato sottoinsieme visto che la vita dell'omino è limitata sia superiormente che inferiormente). Generalizzando, ciò si verifica ugualmente se l'omino si sposta lungo la retta.
Questa descrizione però non tiene conto della distribuzione di materia in questo ipotetico spazio unidimensionale. Per la relatività generale, la materia incurva lo spaziotempo dando luogo alla gravità. Sia chiaro, quest'ultima ha un senso fisico solo per uno spazio ambiente con un numero minimo di dimensioni pari a 3. Ma il nostro è solo un esperimento concettuale...
Dobbiamo allora passare da uno spaziotempo piatto bidimensionale a uno spaziotempo curvo bidimensionale. Modellizzando la distribuzione di materia attraverso un opportuno tensore energia-impulso e integrando le soluzione delle omonime equazioni di Einstein, possiamo determinare le componenti del tensore metrico g_μν che determinano univocamente le proprietà metriche dello spaziotempo, e quindi il particolare tipo di spazio. In linea di principio, possiamo eseguire il procedimento inverso: supporre cioè che l'ipotetico spaziotempo 2-dimensionale che stiamo considerando sia una cosiddetta "2-sfera" cioè l'usuale sfera quale varietà differenziabile immersa nello spazio ambiente R³. La scelta della sfera non è casuale, ma dettata dalla semplicità. Potremmo considerare uno spazio curvo più complicato, per poi giungere alle stesse conclusioni. In breve, il nostro ipotetico spaziotempo 2-dimensionale si è ora incurvato a causa della presenza della materia nello spazio fisico 1-dimensionale. Le linee coordinate non sono più gli usuali assi cartesiani x, ct, giacché le coordinate più convenienti sono ora quelle sferiche. Precisamente, le coordinate angolari θ e φ. In particolare la coordinata angolare θ individua la "coordinata tempo" (a meno del fattore moltiplicativo c, ovvero la velocità della luce). Trattandosi di una curva chiusa, si ha che la presenza della materia (sotto una particolare distribuzione energia-impulso) ha generato dei loops temporali, di modo che nel corso della sua esistenza, l'ipotetico omino incontrerà un numero finito di versioni più giovani di sé stesso, ovvero eseguirà dei viaggi nel tempo.

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