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[¯|¯] Sviluppo in serie di Taylor e sviluppo in serie di Fourier

In figura è riportato il grafico della funzione exp(x) per x in [-pi,pi] e periodica di periodo 2*pi. L'andamento è confrontato con il polinomio trigonometrico di ordine n=10 con lo sviluppo in serie di Taylor di punto iniziale 1 e troncato al termine di ordine 3. È chiaro che ques'ultimo si allontana rapidamente dalla funzione, anche perchè il grafico è ottenuto per traslazione. In parole povere, per x non appartenente [-pi, pi] l'espressione analitica della funzione non è data da exp(x) ma da exp(x+2k*pi) e exp(x-2k*pi) con k intero relativo.

In ogni caso, la serie di Taylor fornisce un'approssimazione locale di una funzione. Diversamente, la serie di Fourier realizza un'approssimazione in media, come appare dal grafico.

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