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[¯|¯] Funzione di Heaviside, funzione signum

Settembre 17th, 2014 | by extrabyte |
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Funzione di Heaviside (o gradino unitario)

È così definita:
\begin{equation}
\theta\left( x\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{l}
1,\text{ se }x\geq0\\
0,\text{ se }x<0 \end{array} \right. \label{eq: unit_step} \end{equation} Per definizione di grafico:

\Gamma_{\theta}=\left\{  \left(  x,y\right)  \in\mathbb{R}^{2}\mid0\leq x<+\infty,\,\,\,y=\theta\left(  x\right)  \right\}

Tenendo conto della (\ref{eq: unit_step}):

\Gamma_{\theta}=r_{1}\cup r_{2},

dove:

r_{1}  =\left\{  \left(  x,y\right)  \in\mathbb{R}^{2}\mid0\leq x<+\infty,\,\,\,y=1\right\}

e

r_{2}  =\left\{  \left(  x,y\right)  \in\mathbb{R}^{2}\mid-\infty<x<0,\,\,\,y=0\right\}



Cioè \Gamma_{\theta} è l'unione della semiretta y=1 di origine \left(  0,1\right)  e del semiasse negativo x privato dell'origine.
\Gamma_{\theta} si proietta sull'asse x in X=\mathbb{R} e sull'asse y in \theta\left(  \mathbb{R}\right)  =\left\{  0,1\right\}, come mostrato in fig. 1

funzione di heaviside,funzione unit step, gradino unitario

Fig. 1. Grafico della funzione di Heaviside

Funzione signum

È definita da:
\begin{equation}
sgnx=\theta\left( x\right) -\theta\left( -x\right)
\label{eq: signumx_theta}%
\end{equation}
Esplicitiamo la (\ref{eq: signumx_theta}):%
\begin{align*}
x & >0\underset{x=\left\vert x\right\vert }{\Longrightarrow}%
sgnx=sgn\left\vert x\right\vert =\theta\left( \left\vert x\right\vert
\right) -\theta\left( -\left\vert x\right\vert \right) =1-0=1\\
x & =0\Longrightarrow sgn0=\theta\left( 0\right) -\theta\left( 0\right)
=0\\
x & <0\underset{x=-\left\vert x\right\vert }{\Longrightarrow}sgnx=sgn\left( -\left\vert x\right\vert \right) =\theta\left( -\left\vert x\right\vert \right) -\theta\left( \left\vert x\right\vert \right) =0-1=-1 \end{align*} Quindi: \begin{equation} sgnx=\left\{ \begin{array} [c]{l}% 1\text{, se }x>0\\
0\text{, se }x=0\\
-1\text{, se }x<0 \end{array} \right. \label{eq: signumx_val}% \end{equation} Dalla (\ref{eq: signumx_val}) possiamo dedurre l'origine del nome dato alla funzione signum, dove signum sta per segno. Infatti, tale funzione agisce alla stregua di un operatore, il quale applicato a un numero reale x restituisce +1 se x>0, 0, se x=0 e -1 se x<0. Utilizzando la terminologia informatica, sgnx restituisce gli stati logici +1,\,0,\,-1 che definiscono il segno del numero reale x. In altri termini, la funzione signum esegue un'estrazione del segno di x\in\mathbb{R}. Un altro modo di scrivere sgnx consiste nell'utilizzare la notazione di Iverson. Si tratta di una notazione implementata dalle omonime parentesi (di Iverson, appunto) definite da una legge di corrispondenza tra l'insieme delle proposizioni associate a un assegnato sistema formale e i valori binari 0,1.
Precisamente, sia \Pi l'insieme delle proposizioni \mathcal{P} associate a un sistema formale \Sigma:
\begin{equation}
\underset{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathcal{P}%
\longrightarrow\left[ \mathcal{P}\right] ,\,\,\,\,\forall\mathcal{P}\in\Pi
}{\left[ .\right] :\Pi\rightarrow\mathbb{N}}\label{eq: iverson}%
\end{equation}
Si osservi che la legge di corrispondenza (\ref{eq: iverson}) è una funzione, per come l'abbiamo definita nella Lezione 1. Risulta:
\begin{equation}
\left[ \mathcal{P}\right] =\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
1\text{, se }\mathcal{P}\text{ è vera}\\
0\text{, se }\mathcal{P}\text{ è falsa}
\end{array}
\right.
\end{equation}

Pertanto la funzione (\ref{eq: iverson}) è definita in \Pi e il suo codominio è \left[  .\right]  \left(  \Pi\right)  =\left\{  0,1\right\}. Utilizzando la terminologia informatica, diremo che \left[  \mathcal{P}%<br />
\right] occupa uno degli stati logici True o False.
A questo punto possiamo scrivere:

sgnx=\left\{\begin{array}[c]{l}%<br />
\left[  x>0\right]  -\left[  x<0\right]  \text{,  se }x\not =0\\0\text{,  se }x=0 \end{array}\right.

Esaminiamo un ulteriore modalità di scrittura della funzione signum. È facile convincersi che:

x=\left\vert x\right\vert sgnx,\,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}%

Quindi: \begin{equation} sgnx=\frac{x}{\left\vert x\right\vert }\label{eq: sgn1}% \end{equation} o ciò che è lo stesso \begin{equation} sgnx=\frac{\left\vert x\right\vert }{x}\label{eq: sgn2}% \end{equation} Si noti che la (\ref{eq: sgn1}) non è definita per x=0, per cui l'espressione completa è:

sgnx=\left\{\begin{array}[c]{l}\frac{\left\vert x\right\vert }{x}\text{, se }x\not =0\\0,\text{se }x=0\end{array}\right.

Per concludere, il grafico della funzione signum è riportato in figura 2.

Fig. 1. Grafico della funzione Signum

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