[¯|¯] Appunti sui limiti


Gli appunti che oggi proponiamo fanno parte di un e-book che uscirà prossimamente (su scribd.com e su Amazon). Riguarda la nozione di limite di una funzione reale di una variabile reale. Teoria ed esercizi (completamente risolti).
La nozione di limite è fondamentale in analisi matematica. Al tempo stesso è complicata, soprattutto per quanto riguarda gli esercizi. Ad esempio, mentre nel caso delle derivate, esistono le regole di derivazione, nel caso del limite bisogna avere una certa dose di intuito al fine di individuare il giusto artificio matematico.

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[¯|¯] Un esempio di Problema di Cauchy


In questo post proponiamo (e risolviamo) un problema di Cauchy alquanto rognoso. L’equazione differenziale è del primo ordine a variabili separabili. Quindi, l’integrazione è immediata ma non troppo, nel senso che c’è un integrale non molto semplice. Ma la complicazione sta nel fatto che l’integrale generale si ottiene in forma implicita. Però, è possibile metterlo in forma parametrica, ottenendo una famiglia di cicloidi a un parametro. Si applica poi il teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni del problema di Cauchy assegnato. L’esistenza è garantita dalla continuità della funzione f(x,y) che compare a secondo membro dell’equazione. Ma la derivata parziale rispetto a y non è continua in tutto il campo di esistenza della f (come richiesto dal teorema medesimo), il che implica che potrebbero esserci soluzioni multiple. In sostanza, il problema proposto è compatibile e indeterminato. Smanettando con le formule ci accorgiamo che le per ogni punto P(x0,u0) con un appropriata ordinata u0 (tale che P non appartenga al vertice della cicloide) passano due cicloidi simmetriche rispetto alla retta verticale x=x0. Quindi, il problema proposto ammette 2 soluzioni. Se, invece, P appartiene al vertice, segue che le soluzioni sono ancora 2: la prima è rappresentata da una cicloide, la seconda è una soluzione costante rappresentata dalla retta tangente alla cicloide nel vertice.

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