[¯|¯] Studio di una forma d'onda (valor medio, valore efficace, sviluppo di Fourier)

venerdì, Gennaio 12th, 2018

Esercizio
Dopo aver determinato il valor medio e il valore efficace della forma d'onda (periodica di periodo T):

essendo τ>0 una costante di tempo, scrivere la serie di Fourier associata alla funzione v(t), discutendone la convergenza.

Soluzione
Osserviamo innanzitutto che

da cui la continuità della funzione v(t) in t=T/2 e, quindi, nei punti

In figura riportiamo il grafico della funzione, da cui vediamo la presenza di punti di discontinuità di prima specie.

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[¯|¯] Valor medio e valore efficace di una funzione

sabato, Marzo 4th, 2017

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Generalizziamo le nozioni esposte nel post precedente.

Assegnato l'intervallo [a,b] quale sottoinsieme di R, poniamo

Come è noto, C([a,b]) assume la struttura di spazio vettoriale su R, introducendo le usuali leggi di composizione:

e relativi assiomi. Tale spazio vettoriale può essere strutturato come spazio euclideo introducendo la forma bilineare:

che verifica gli assiomi di prodotto interno (o prodotto scalare). È facile persuadersi che tali assiomi sono automaticamente verificati dalla seguente forma:

D'altra parte tale definizione è ben posta, giacché la continuità delle funzioni f e g garantisce l'esistenza dell'integrale definito che compare a secondo membro. Si osservi che tale forma definisce il prodotto scalare standard, in quanto è la naturale generalizzazione al continuno del prodotto scalare standard di uno spazio euclideo n-dimensionale

poiché la variabile discreta k viene rimpiazzata dalla variabile continua x. L'introduzione del prodotto scalare ci permette di definire ortogonalità e lunghezza (norma) degli elementi di C([a,b]):

Come è ben noto dall'analisi funzionale, per definire una metrica (i.e. funzione distanza) non è necessario introdurre un prodotto scalare. È però sufficiente; infatti è facile convincersi che la grandezza

verifica gli assiomi della funzione distanza. Per inciso, ancora una volta siamo in presenza di una generalizzazione al continuo. Infatti, in uno spazio euclideo n-dimensionale, la distanza tra due punti la cui posizione è definita dai vettori:

che ammette l'ovvia generalizzazione al continuo:
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Ciò premesso, la disuguaglianza di Schwartz lega il valore assoluto del prodotto scalare di due vettori alle rispettive norme. Sussiste infatti il seguente teorema di cui omettiamo la dimostrazione:
Teorema (Disuguaglianza di Schwartz)
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In particolare

La seconda parte del teorema è interessante, nel senso che vale l'uguaglianza solo se uno dei due vettori è il vettore nullo, oppure nel caso di parallelismo di f e g. Consideriamo ora la media integrale di f in [a,b]: