[¯|¯] Teorema del proiettile

venerdì, Settembre 8th, 2017

Teorema

Comunque spariamo un proiettile con velocità iniziale v₀ e angolo di alzo θ, il modulo al quadrato della velocità vettoriale è un integrale particolare dell'equazione differenziale del secondo ordine:

Dimostrazione
Ricordiamo che il vettore velocità del proiettile si scrive:
proiettile,traiettoria,gittata,equazione differenziale

avendo assunto il solito riferimento cartesiano ortogonale con origine nel punto di sparo e asse y orientato verso l'alto. Segue

da cui derivando rispetto al tempo

Derivando una seconda volta
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[¯|¯] Ricostruzione della traiettoria di un proiettile attraverso rilevamento radar

giovedì, Settembre 7th, 2017

proiettile,traiettoria,radar — **Fig.1**

All'istante t_* il rilevamento radar di un proiettile in avvicinamento, restituisce le seguenti informazioni (si trascura la resistenza dell'aria):

il proiettile ha raggiunto la massima altezza della traiettoria parabolica alla velocità v_*;
i parametri di posizionamento del proiettile in un piano verticale α contenente la traiettoria sono: la distanza L tra il proiettile all'istante t_* e il radar R, e l'angolo di elevazione φ misurato da R a partire dal piano orizzontale.

Ricostuire la traiettoria completa del proiettile nell'ipotesi in cui il radar si trovi alla stessa quota del punto di sparo.
Soluzione
Fissiamo un riferimento cartesiano ortogonale R(Oxy) con origine nel punto di sparo del proiettile. Per ipotesi il radar si trova alla stessa quota del predetto punto, per cui le sue coordinate cartesiane sono (x_R,0), come illustrato in fig.1 dove abbiamo supposto (senza perdita di generalità) x_R>x_Q. Nell'istante t_* il proiettile si trova nel vertice M della parabola, ed è posizionato rispetto a R attraverso la coppia ordinata (L,φ) da cui possiamo determinare l'altezza massima

Si osservi che l'equazione precedente è indipendente dalla posizione di R rispetto al punto di impatto Q. Ad esempio, se φ=π/2 è R=N per cui all'istante t_* il proiettile è allo zenit del radar. Ricordiamo che le equazioni orarie del moto si scrivono:
proiettile,traiettoria,radar

ove v₀,θ sono rispettivamente la velocità di sparo e l'angolo di alzo. Derivando rispetto al tempo, si trovano le componenti cartesiane del vettore velocità

A t=t_* è v_y=0 per cui

Abbiamo così ottenuto una prima relazione che lega le grandezze ignote v₀,θ al parametro noto v_*. A questo punto sfruttiamo alcune relazioni note nella cinematica di un proiettile in assenza di resistenza dell'aria. Precisamente, la massima altezza